Lucas定理

Conclusion

$$C_{N}^{M} \bmod P=C_{ \left \lfloor N/P \right \rfloor}^{\left \lfloor M/P \right \rfloor} \times C_{ N \bmod P}^{M \bmod P} \bmod P (P是质数)$$

$\texttt{Proof}$

设 $N=aP+b$, $M=cP+d$ 。

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Conclusion

$$(1+x)^P\equiv1+x^P (\bmod P)$$

Proof

$$(1+x)^P\equiv \sum_{i=0}^P C_{P}^{i} x^i \equiv \sum_{i=0}^P \frac{P}{i}\times C_{P-1}^{i-1} \times x^i \equiv 1+x^P (\bmod P)$$

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$$(1+x)^{aP+b}\equiv((1+x)^P)^a\times (1+x)^b\equiv(1+x^P)^a\times (1+x)^b\equiv\sum_{i=0}^a C_{a}^{i} \times x^{Pi} \times \sum_{j=0}^{b} C_{b}^{i} \times x^{j} (\bmod P)$$

令 $i=c$ ,$j=d$ 。

$$C_{aP+b}^{cP+d}\times x^{cP+d}=C_{a}^{c} \times x^{Pc}\times C_{b}^{d} \times x^d$$

$$C_{aP+b}^{cP+d}=C_{a}^{c}\times C_{b}^{d}$$

得证。