Pólya计数定理

Pólya计数定理

Pólya计数定理是数学中常用的定理，这里我们由浅入深逐层递进随便扯一扯

置换，顾名思义是一种操作，对一个集合，对它的每一个元素建立有像的映射关系，这个关系叫做置换。

比如说一个集合{ghj1222,olinr,guz,enceladus}，如果让ghj1222坐到olinr的位置，olinr坐到guz的位置，guz坐到enceladus的位置，enceladus坐到ghj1222的位置，这就是这个集合的一种置换，用数学方法可以写成\(\displaystyle\begin{pmatrix}ghj1222&olinr&guz&enceladus\\olinr&guz&enceladus&ghj1222\end{pmatrix}\)

备注：后三个是我们机房的大佬

如果我们给人名编号，让ghj1222=1,olinr=2,guz=3,enceladus=4，那么就写成了\(\displaystyle\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}\)。在后面我们只讨论数集\(\{x\in N_+|x\le n\}\)的置换(因为好研究啊)

然后呢既然这个数集是1_{n的正整数，我们就可以把置换的原像按照大小排序(刚好是1}n)，这样就可以省略原像。比如说上面的那个可以简单写成\(\begin{pmatrix}2&3&4&1\end{pmatrix}\)，其实这个置换就是1~n的一个排列了

然后呢两个相同集合的置换可以进行乘法运算，比如说\(\begin{pmatrix}2&3&4&1\end{pmatrix}\)和\(\begin{pmatrix}2&3&4&1\end{pmatrix}\)，就是\(\begin{pmatrix}3&4&1&2\end{pmatrix}\)，这个其实很好理解，就是把数字移动位置之后再按照原规则移动一次就行了。给出一个正经一点的定义：\(\begin{pmatrix}P_1&P_2&\cdots&P_n\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}Q_1&Q_2&\cdots&Q_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_{Q_1}&P_{Q_2}&\cdots&P_{Q_n}\end{pmatrix}\)

然后呢这个运算单位元就是不换，也就是\(\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\end{pmatrix}\)然后呢逆元也是有的。对\(\begin{pmatrix}P_1&P_2&\cdots&P_n\end{pmatrix}\)这个置换来说，我们假设如果\(P_i=j\)那么\(Q_j=i\)，则这个置换的逆元是\(\begin{pmatrix}Q_1&Q_2&\cdots&Q_n\end{pmatrix}\)。(考虑一个元素换回去，又莫名其妙地换回来了，就相当于元素不动）

然后呢是置换的秩。置换的秩就是置换轨道的个数，或者说是环的个数。显然，一个置换是由若干个环组成，比如说上面的那个\(\begin{pmatrix}2&3&4&1\end{pmatrix}\)，秩就是1，\(\begin{pmatrix}3&4&1&2\end{pmatrix}\)的秩就是2，而\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}\)秩就是4，所以我们可以把置换写成按照循环的形式写，比如说上面三个矩阵改写后就是\(\begin{pmatrix}2&3&4&1\end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix}3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}\)

然后呢就是置换群，顾名思义置换群就是由置换所组成的群。这个群不是说组成就组成的，需要满足一些性质，比如群里任取两个置换做乘法，得到的结果必须还是这个群里的置换。置换群是定义在一个目标集合上的，也就是说置换群里的所有置换都是对目标集合中的一个元素到另一个元素的。这里目标集合可以是数集的等等。

然后按照套路，这里应该是Burnside引理了，所以就扯扯Burnside引理吧。所谓Burnside引理，顾名思义个屁，就是说一个置换群的目标集合中会有一些元素是相等的，这些元素归为一个等价类，目标集合等价类的个数就是所有置换下不变元素个数的平均值。这里说的非常抽象(语文swh教的)，这里给一个具体的例子，就是那个2*2正方形转换的经典例子。(其实我应该把这个放在前面吸引兴趣的)

这个问题是这样的，就是给定2*2的方格，你需要用黑、白两种颜色将所有格子染色。显然一共16种方案。但是现在要求旋转同构，就是说如果两个方案任意旋转之后相同，他们还是同一个方案。这个答案是6种。我们构建群论的模型解决。

目标集合就是染色的16种情况。然后置换就有4种：逆时针旋转0，逆时针旋转\(\frac\pi2\)，逆时针旋转\(\pi\)，逆时针旋转\(\frac{3\pi}2\)。我们把方块标上号，逆时针为1,2,3,4，那么四种置换就是\(\left\{\begin{aligned}\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}2&3&4&1\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}3&4&1&2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}4&1&2&3\end{pmatrix}\end{aligned}\right.\)。然后显然四个置换可以组成一个置换群。然后呢对于这个问题，一个置换意义下不变元素的个数就是颜色个数的置换的秩次幂。因为对于一个置换，如果元素不变，不同的循环互不影响，同一个循环必须是同一个原色的，秩就是循环的个数。对于这个例子，每一个置换的不变元素个数这么整：对于\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}\)，秩是4，不变元素个数是16,；\(\begin{pmatrix}2&3&4&1\end{pmatrix}\)，秩是1，不变元素个数是2，\(\begin{pmatrix}3&4&1&2\end{pmatrix}\)，秩是2，不变元素个数是4；\(\begin{pmatrix}4&1&2&3\end{pmatrix}\).秩是1，不变元素个数是2，这四个置换不变元素个数的平均数是6，所以等价类个数是6。

然后是Pólya计数定理，其实Pólya计数定理和Burnside引理是一个东西，他就是把上面的不变元素个数具体化，是元素个数的置换的秩次幂。

其实这篇博客就是随便扯一扯，然后就没啦