博弈论(扯淡)

博弈的意思就是下棋，这个没什么好解释的

我们先看一个简单的例子，NIM博弈

NIM博弈

Easy Mode

平面上有两堆石子，现在Alice和Bob(怎么又是他们)轮流取石子。每次每个人只能取其中一堆石子，不能不取。取不了石子的输。求先手必胜的状况。

答案很显然。当两堆石子不同的时候是先手必胜。这时候只需要先手把两堆石子取到相同。然后后手拿多少先手拿多少就行。

Hard Mode

还是上题，只是平面上有N堆石子，每堆有\(a_i\)个。大家思考一下。

答案不显然，当a的异或和等于0时后手必胜，否则先手必胜。

这个要证明也好证明，首先当所有的棋子数目都0时候是一个必败局面，此时异或和为0。我们假设所有异或和为0的局面为必败局面，否则为必胜局面。除了最终局面之外，所有必败局面都一定不可以转化为必败局面。而所有的必胜局面都一定有可能转化为必败局面。怎么转化呢？对于必胜局面，我们求一下a数组的异或和x，其中一定存在一个\(a_k \ge x\)，让\(a_k\oplus= x\)，这样转化为了必败局面。

同学们可以拿这个去坑别的同学，前提是你异或算的要快 最起码要比香港记者快吧（雾

有向图游戏

当前你和Alice有一个DAG，DAG的一个入度为0的节点上有一个棋子，你们俩轮流把棋子移动一步，不能移动算输。我们把它抽象成一个模型，为有向图游戏。显然，一个节点表示一个局面。一条边则表示局面的转移。

SG函数

我们现在有一个非负整数集合的子集A，定义mex(A)运算代表A集合没有出现的最小非负整数。mex的参数是一个集合，结果是一个函数值。例如：mex({0,1,4,2,5}) =3

在有向图游戏中，当一个节点是必败局面的时候，他的SG函数值为0，否则为他所有能够转移到的局面的SG函数值组成的集合的mex值。

SG函数值是一个局面的估价。SG函数在某年初赛中有考过。

有向图游戏的和

当NIM游戏只有一堆石子的时候（如果石子不为0，先手必胜），有SG(0)=0,SG(1)=1,SG(2)=2...SG(N)=N。

对于N个有向图游戏，定义他们的和为：每一次移动可以将一个有向图游戏的一个棋子向前移动一步，移动不了的算输。显然对于一个局面，当前N个棋子所在位置的SG函数值为\(\{a_1,a_2,...,a_n\}\)，这个局面的SG函数值为这a的异或和。

这个证明我懒得证了，和上面NIM博弈的差不多

思考题

现在有一块n*m的矩形，矩形有一个格子是黑色的。现在Alice和Bob轮流把这个矩形劈成两半(沿着任意一条格子之间的直线劈开)，保留有黑色格子的那个。最后无法劈的人输。求先手必胜。

这个很逗，固定黑色格子的那个棋子，变为4堆棋子的nim博弈。

平局

例题：A Game With Numbers

Alice和Bob又在玩游戏，他们每个人手里有8个[0,4]之间的数字。每次一个人选自己的一个数字和对方的一个数字，自己的数字+=对方的数字，自己的数字%=5。不能选择0。不能操作者输。现在给一个局面，问胜负还是平局。

读到这里你肯定会很懵逼，这之后只会出现输赢哪里来平局呢？你没有想到过这个有环。

我们先枚举状态。状态数有\((5^8)^2\)种（152587890625种），但实际上二米这么多，因为数字的位置和状态无关。用组合数则\((C_{5+8-1}^8)^2\)种。（245025种）。另外我们注意到有些位置胜负已经确定了（当前有一方全是0，那么先手必败，因为无法走了），我们从这个状态递推（记忆化搜索？）到其它全部状态，推出所有能够确定胜负的状态，剩下的就是不能够确定胜负的状态辣。时间复杂度\(O(5^2*245025)\)。

概率论

OI中期望是当前你处于某一个确定的局面，你有若干种可供选择的后继，选择某种后继具有某个概率，对所有方案出现概率乘以他的最后局面权值的和是这个局面的期望。通常在OI中，为了方便你做题，一个局面的期望只和当前所处位置有关，和之前的决策无关。

OI中概率的考察通常与递推啊高斯消元什么的相结合。

培训期间我们也做了几道概率的题，NOIP中概率考察其实很简单所以我不讲了