主定理

ghj1222

先介绍几个符号的含义。

符号\(\Theta\)，读音西塔，既是上界也是下界，等于，严格贴紧。

符号\(O\)，读音殴，表示上界，小于等于，贴紧未知。

符号\(o\)，读音也是殴，小于，不贴紧。

符号\(\Omega\)，读音偶眯嘎，表示下界，大于等于，贴紧未知。

符号\(\omega\)，读音也是偶眯嘎，表示下界，大于，不贴紧。

上面的“贴紧”是我根据tight翻译过来的(不是很准确啊)，大概就是是否严格等于的意思吧。

意思就是\(\Theta\)是平均时间复杂度，\(O\)是最坏情况下的复杂度，\(\Omega\)是最好情况下的复杂度。

假设我们有递推关系式：
\(\begin{aligned}T(n)=aT\left(\frac n b\right)+f(n)\end{aligned}\)

其中，\(n\)为问题的规模、\(a\)为递推下子问题的数量，\(\begin{aligned}\frac n b\end{aligned}\)为每个子问题的规模，\(f(n)\)为递推后做的额外的计算工作。

1.假设存在常数\(\epsilon>0\)，使得\(f(n)=O(n^{\log_b(a)-\epsilon})\)，则\(T(n)=\Theta(n^{log_ba})\)。

具体意思是f(n)的上界是n的幂次，且\(log_b(a)\)比这个幂次要大，则时间复杂度为这个n的\(log_b(a)\)次。

例子：二叉树的遍历。\(\begin{aligned}T(n)=2T\left(\frac n 2\right)+\Theta(1)\end{aligned}\)。其中\(a=2\)，\(b=2\)，\(f(n)=1\)，此时\(\epsilon=1\)。\(T(n)=\Theta(n)\)。

2.假设存在常数\(k\ge0\)，使得\(f(n)=\Theta (n^{\log _{b}a}\log ^{k}n)\)，则\(T(n)=\Theta(n^{log_ba}\log^{k+1}n)\)。

具体意思是f(n)是n的\(log_b(a)\)次，再乘以一个log，则复杂度是f(n)的复杂度再乘以一个log。

例子：归并排序。\(\begin{aligned}T(n)=2T\left(\frac n 2\right)+\Theta(n)\end{aligned}\)。其中\(a=2\)，\(b=2\)，\(f(n)=n\)，此时\(k=0\)。\(T(n)=\Theta(n\log_2n)\)。

例子：二分搜索（折半搜索）。\(\begin{aligned}T(n)=T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (1)\end{aligned}\)，其中\(a=1\)，\(b=2\)，\(f(n)=1\)，此时\(k=0\)，则\(T(n)=\Theta(log_2n)\)。

3.假设存在常数\(\epsilon >0\) ，有\(f(n)=\Omega (n^{\log _{b}(a)+\epsilon })\)，同时存在常数\(c<1\)以及充分大的\(n\)满足 \(af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)\)那么 \(T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right)\)。

这个感觉没啥用啊。。。

【例题】

【NOIP2017初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：

\(\begin{aligned}T(N)=2T\left(\frac N 2\right)+N\log N\end{aligned}\)，\(T(1)=1\)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

\(\rm A .O(N)\ B .O(N\log_2N)\ C.O(N\log_2^2N)\ D.O(N^2)\)

【解析】套用情况2中的k=1的情况，则\(T(n)=\Theta(N\log_2^2N)\)，选C

【NOIP2016初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：

\(\begin{aligned}T(N)=2T\left(\frac N 4\right)+\sqrt N\end{aligned}\)，\(T(1)=1\)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

\(\rm A .O(N)\ B .O(\sqrt N)\ C.O(\sqrt N\log_2N)\ D.O(N^2)\)

【解析】套用情况2中的k=0的情况，则\(T(n)=\Theta(sqrt(N)\log_2N)​\)，选C

【NOIP2015初赛】某算法的计算时间表示为递推关系式：

\(T(N)=T(N-1)+N\)，\(T(0)=1\)。则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

\(\rm A .O(\log_2^2N)\ B .O(N\log_2 N)\ C.O(N)\ D.O(N^2)\)

【解析】难道这个就要用主定理了？容易推导出\(\begin{aligned}T(N)=T(0)+1+...+n=1+\frac{N*(N+1)}{2}\end{aligned}\)，则时间复杂度为\(O(N^2)\)，选D

【总结】

NOIP初赛考察了3年的时间复杂度分析，其中两年用到了主定理。其实你不会主定理也没事儿，只要能找几个特殊值带入，并根据符号\(O\)的意义排除选项即可。