CF1784D Wooden Spoon (组合DP+FFT)
div2F(div1D)
题意：有 \(2^n\) 个人，编号为1到 \(2^n\) 的整数，他们进行淘汰赛，比赛形式是一个满二叉树，每局比赛编号小的赢。木勺奖颁发给满足“第一次比赛输了；在上述比赛赢了他们的人第二次比赛输了；在上述比赛赢的他们的人第三次比赛输了；...；在上述比赛赢了他们的人在最后一次比赛输了”的选手，可以证明满足这样条件的选手只有1个。考虑所有 \((2^n)!\) 个排列构成的情况，每种情况一定会仅有一个人获得木勺奖，求每个人获得木勺奖的情况数量。输入只包含：\(1\le n\le 20\)
分析：首先设 \(2^i\) 个人比赛时编号第 \(j\) 小的人获得木勺的情况数为 \(dp[i][j]\) ，也就是输出的答案，为了方便我们这里从 0 开始编号，也就是 \(0\le j\le2^i-1\)
不难得到转移方程为
\(dp[i][j]=2(2^{i-1})!\sum_{k=0}^{2^{i-1}-1}dp[i-1][k] \binom{j-1}{k}\binom{2^i-j-1}{2^{i-1}-k-1}\)
说明：考虑这个人在它所在的那一半子树，要是他获得木勺，必须满足这个子树里面对应位置获得木勺，并且这里面最小值比另一个子树的小，那么另一个子树的最小值必定是全局最小值（题目里是1，我从0开始标号那么就是0）
考虑枚举这个j在自己子树里对应的k，\(dp[i-1][k]\)就是自己子树对应的情况，别人子树可以随便放，也就是\((2^{i-1})!\)，两个子树可以xjb换位置也就是再乘以一个2
，然后就是分配问题了，j必须在自己子树里排位是k，并且自己子树不能是最小值，因此抛去0，\([1,j-1]\)里选出k个作为\([0,k-1]\)（注意是从0标号），后面就是\([j+1,2^i-1]\)里选出\(2^{i-1}-k-1\)个作为\([k+1,2^{i-1}-1]\)区间的值
初始条件可以参考样例的 \(dp[1][0]=0,dp[1][1]=2\)
然后考虑优化，可以把组合数拆了
\(dp[i][j]=2(2^{i-1})!(j-1)!(2^i-j-1)!\sum_{k=0}^{2^{i-1}-1}\frac{dp[i-1][k]}{k!(2^{i-1}-k-1)!}\cdot\frac{1}{(j-k-1)!(2^{i-1}-(j-k))!}\)
发现里面是个卷积，设 \(f[t]=\frac{dp[i-1][t]}{t!(2^{i-1}-t-1)!},g[t]=\frac{1}{(t-1)!(2^{i-1}-t)!}\) ，然后可以用fft优化
由于本题刚好每次DP是\(2^n\)，所以就不用补齐，注意 f 函数只有一半，但是 g 要全算出来，对于阶乘溢出可以额外写一个函数判，如果传入负数直接返回0
复杂度为 \(\sum_{i=1}^{\log_n}i 2^i=O(n\log n)\) ，不过常数有点大
代码太丑就不放了
这种DP里面只有cnm的一般都可以拆了然后写成卷积，洛谷上有一车类似的
CF连掉了四次分靠一个FFT拉了回来，写个题解纪念一下
