图论——《离散数学》
图论
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第十五章guguguugugugugu
第十四章 图的基本概念
14.1 图
(1) 无序积：\(A\&B=\{\{a,b\}|a\in A\land b\in B\}\) ，把无序对 \(\{a,b\}\) 记为 \((a,b)\)
(2) 无向图：无向图是一个有序的二元组 \(G=\langle V,E\rangle\) ，\(V\) ：非空有穷集——顶点集，元素称为顶点/节点；\(E\) ： \(V\& V\) 的一个有穷多重子集——边集，元素称为无向边（边）。
(3) 有向图： \(D=\langle V,E\rangle\)，\(E\) 是 \(V\times V\) 的一个有穷多重子集， \(E\) 的元素称为有向边。
(4) 图：无向图和有向图统称。
(5) 阶：图的顶点数；n阶图。n阶零图：没有边的图 \(N_n\)；平凡图：1阶零图 \(N_1\) （只有1个点、没有边的图）。空图：没有点的图，记做 \(\varnothing\) 。标定图：图中每个顶点/每条边有编号的图；非标定图。有向图的基图：把有向图的有向边改为无向边得到的无向图。
(6) 无向图 \(G=\langle V,E\rangle\) ， \(e_k=(v_i,v_j)\in E\) ，\(v_i, v_j\) 为 \(e_k\)的 端点，\(e_k\) 与 \(v_i\) 关联、\(e_k\) 与 \(v_j\) 关联。\(e_k\) 与 \(v\) 的关联次数为1（如果\(v=v_i\neq v_j\)或\(v=v_j\neq v_i\)）。为2（如果\(v=v_i=v_j\)，并且称边 \(e_k\) 为环（自环））。为0：\(v\neq v_i\land v\neq v_j\)。两点相邻：两点至少有一条边连接；两边相邻：两条边连接了至少同一个点。
(7) 有向图 \(D=\langle V,E\rangle\) ， \(e_k=\langle v_i,v_j\rangle \in E\) ，\(v_i, v_j\) 为 \(e_k\)的 端点 ，\(e_k\) 与 \(v_i\) 关联、\(e_k\) 与 \(v_j\) 关联，\(v_i\) 为 \(e_k\) 的 始点、\(v_j\) 为 \(e_k\) 的 终点；如果\(v_i=v_j\)，称边 \(e_k\) 为环（自环）。两点相邻：两点至少有一条边连接；两边相邻：一条边的终点是另一条边的始点。
(8) 孤立点：没有边关联的点。
(9) 无向图：
| 概念 | 无向图 \(G=\langle V,E\rangle\) |
|---|---|
| 点 \(v\) 的邻域 | \(N_G(v)=\{u|u\in V \land(u,v)\in E\land u\neq v\}\)，与\(v\) 相邻的点集合（不包括本身） |
| 点 \(v\) 的闭邻域 | \(\bar N_G(v)=N_G(v)\cup \{v\}\) 邻域算上他本身 |
| 点 \(v\) 的关联集 | \(I_G(v)\) ，与 \(v\) 关联的边的集合 |
(10) 有向图：
| 概念 | 有向图 \(D=\langle V,E\rangle\) |
|---|---|
| 后继元集 | \(\Gamma^+_D(v)=\{u|u\in V\land \langle v,u\rangle \in E\land u\neq v\}\)，\(v\) 走一步能走到的点（不包括本身） |
| 先驱元集 | \(\Gamma^-_D(v)=\{u|u\in V\land \langle u,v\rangle \in E\land u\neq v\}\)，\(v\) 能被走一步走到的点（不包括本身） |
| 点 \(v\) 的邻域 | \(N_D(v)=\Gamma^+_D(v)\cup \Gamma^-_D(v)\) |
| 点 \(v\) 的闭邻域 | \(\bar N_D(v)=N_G(v)\cup \{v\}\) |
(11) 平行边、重数（重复次数）；多重图：含平行边的图；简单图：不含平行边、环（自环）的图。
(12) 无向图顶点的 度数（度）：\(d_G(v)\) ；有向图顶点的入度\(d^-_D(v)\)、出度\(d^+_D(v)\)和度数（度）\(d_D(v)=d^-_D(v)+d^+_D(v)\)。
(13) 无向图的最大度 \(\Delta(G)\) 和最小度 \(\delta(G)\)；有向图的 最大度、最大入度、最大出度、最小度、最小入度、最小出度分别为\(\Delta(D)\)、\(\Delta^-(D)\)、\(\Delta^+(D)\)、\(\delta(D)\)、\(\delta^-(D)\)、\(\delta^+(D)\)；悬挂顶点 ：度为1的点；悬挂边：与度为1的点相连的边；偶度顶点、奇度顶点。
(14) 握手定理 ：\(\sum_{i=1}^nd(v_i)=2m\)；\(\sum_{i=1}^nd^+(v_i)=\sum_{i=1}^nd^-(v_i)=m\)；无向图奇度顶点一定有偶数个。
(15) 度数列：\(d(v_1),d(v_2),\dots,d(v_n)\)。度数列可图化（充要条件：\(\sum_{i=1}^nd(v_i)\equiv 0\pmod 2\)）、可简单图化；有向图入度列和出度列。简单图 \(G\) 有 \(\Delta(G)\le n-1\)。
(16) 图的同构：$G_1\cong G_2 $对于 \(G_1\) 和 \(G_2\)， 如果点数相同，存在一个对点数重新排列的方案，使得排列两图所有边一一对应。彼得松图。
(17) \(n\) 阶无向完全图（ \(n\) 阶完全图）：\(K_n\)。 \(n\) 阶有向完全图（\(n\times(n-1)\)）；\(n\) 阶竞赛图（基图是完全图的有向图）。
(18) \(k\) -正则图 ：所有顶点度数都为 \(k\) 的图。
(19) 母图 和子图：点集和边集分别为子集。真子图 ：点集或边集是真子集的子图。生成子图：两者点集相同。 导出子图：\(G[V_1](V_1\subset V\land V_1\neq \varnothing)\)：图的点集是 \(V_1\) 且边集是满足原图中边的两点都在 \(V_1\) 中的边；\(G[E_1](E_1\subset V\land E_1\neq \varnothing)\)：图的边集是 \(E_1\) 且点集为 \(E_1\) 中边关联的顶点。
(20) 补图：\(\bar G\)；自补图：\(G\cong \bar G\)。
(21) 删除边\(e\)：\(G-e(e\in E)\)；删除\(E'\)：\(G-E'(E'\subset E)\)；删除顶点\(v\)（需要去掉与其关联的一切边）：\(G-v(v\in V)\)；删除\(V'\)：\(G-V'(V'\subset V)\)。边\(e\)的收缩：去掉边\(e\)并合并它连接的两个点。加新边：望文生义顾名思义。
14.2 通路与回路
(22) 通路/回路/圈
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 通路 | 顶点与边的交替序列，满足相邻的点与边关联； |
| 始点 | 通路的第一个点； |
| 终点 | 通路的最后一个点； |
| 长度 | 通路的边的数量； |
| 回路 | 始点和终点相同的通路； |
| 简单通路 | 所有边各相异（每条边最多出现一次）； |
| 初级通路 | 所有点各相异（除了始点和终点可以相同）； |
| 初级回路（圈） | 回路+初级通路 |
| 奇圈/偶圈 | 按照长度划分 |
| 复杂通路 | 存在重复出现边的通路 |
| 复杂回路 | 存在重复出现边的回路 |
14.3 图的连通性
(23) 图的连通性
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 点 \(u\) 和 \(v\) 连通 | \(u\sim v\) |
| 连通图/非连通图 | 字面意思 |
| 连通分支（连通块/连通分量） | \(G[V_i]\)，满足\(V_i\) 是 \(\sim\) 下的一个等价类 |
| 连通分支数（连通块数） | \(p(G)\) |
| 短程线 距离 \(d(u,v)\) | \(u\) 和 \(v\) 之间长度最小的通路；它的长度 |
(24) 点割集：点集 \(V'\) 满足 \(p(G-V')>p(G)\) 且 \(\forall V''\subset V, p(G-V'')=p(G)\) 。如果 \(V'\) 只有一个点 \(v\)，\(v\) 是割点。
(25) 边割集（割集）：边集 \(E'\) 满足 \(p(G-E')>p(G)\) 且 \(\forall E''\subset E, p(G-E'')=p(G)\) 。如果 \(E'\) 只有一个边 \(e\)，\(e\) 是割边（桥）。
(26) 点连通度（连通度）：\(\kappa(G)\) ，代表点割集的最小大小。点连通度为 \(\kappa\ge k\) 的图称为 \(k\) -连通图；规定 \(\kappa(K_n)=n-1\) 。
(27) 边连通度：\(\lambda(G)\)，代表边割集的最小大小。边连通度为 \(\lambda\ge r\) 的图称为 \(r\) -边连通图。
(28) 连通度定理：\(\kappa(G)\le \lambda(G)\le \delta(G)\) （最小度）
(29) 有向图两点 可达 （存在通路）；相互可达；（规定一个点总是可达自身的）；短程线、距离。
(30) 弱连通图（连通图）：基图是连通图的有向图（看着像是连通的）；单向连通图：图中每对点都单向可达；强连通图：每对点都相互可达。
(31) 强连通图判别充要条件：\(D\) 中存在经过每个点至少一次的回路；单向连通图判别充要条件：\(D\) 中存在经过每个点至少一次的通路。
(32) 极大路径：一条路径的始点和终点都不与路径外的定点相连。扩大路径法：运用构造极大路径的一种证明方法。
(33) 二部图（二分图、偶图）；完全二部图（\(K_{r,s}\)）；充要定理：图中没有奇圈。
14.4 图的矩阵表示
(34) 无向图的关联矩阵：\(M(G)\) 为 \(n\times m\) 的矩阵，第 \(i\) 行 第 \(j\) 列值代表 \(v_i\) 和 \(e_j\) 的关联次数\(\in \{0,1,2\}\)。每行元素和为点度数，每列元素和为2；整个矩阵和为 \(2m\) 。有向图的关联矩阵：\(M(D)\) 为 \(n\times m\) 的矩阵，第 \(i\) 行 第 \(j\) 列值代表始点1，终点-1，不关联0。
(35) 邻接矩阵：\(a_{ij}\) 为 从顶点 \(v_i\) 到 \(v_j\) 的边的条数，\(A(D)\)。
(36) 可达矩阵：\(P(D)\) \(p_{i,j}\) 代表 \(i\) 到 \(j\) 是否能到。
14.5 图的运算
(37) 图 \(G_1\) 和 \(G_2\) 不交：\(V_1\cap V_2=\varnothing\)；边不交（边不重）：\(E_1\cap E_2=\varnothing\)。
(38) 并图：\(G=\langle V_1\cup V_2, E_1\cup E_2\rangle\)；差图：以 \(E_1-E_2\) 为边集，\(E_1-E_2\) 中边关联的顶点组成的集合为点集；交图：以 \(E_1\cap E_2\) 为边集，\(E_1\cap E_2\) 中边关联的顶点组成的集合为点集；环和：以 \(E_1\oplus E_2\) 为边集，\(E_1\oplus E_2\) 中边关联的顶点组成的集合为点集。
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第十五章 欧拉图与哈密顿图
咕咕咕
第十六章 树
16.1 无向树及其性质
(1) 无向树（树）（连通无回路的无向图）、森林（每个连通分支是树的图）、平凡树（平凡图）、树叶（悬挂顶点）、分支点（度数大于等于2的点）；
(2) 树的等价条件：无回路且连通（定义）；任意两个顶点之间路径唯一；无回路且 \(m=n-1\)；连通且 \(m=n-1\)；连通且任意边为桥；无回路且任意两个不同顶点之间加一个新边得到的图有唯一一个含有新边的圈。
(3) 树中至少有 2 片树叶，证明：设有 \(x\) 片树叶， 则 \(\sum d(v_i)\ge x+2(n-x)\) ，得 \(x\ge 2\)。
(4) 星形图（菊花图）：只有1个分支点，度数为 \(n-1(n\ge 3)\)；星心（菊花中心）。
16.2 生成树
(5) 生成树：无向图的生成子图 \(T\) 是个树。\(G\) 中在 \(T\) 中的边称为 \(T\) 的树枝 ，不在 \(T\) 的边称为 \(T\) 的弦。称 \(T\) 的所有弦导出子图为 \(T\) 的余树（\(\bar T\)）。有连通图和有生成树等价。破圈法：每次取图中一个圈，删掉圈上任意一条边，直到图中没有圈，从而得到生成树。
(6) 基本回路（基本圈）：生成树的一条弦添加进生成树后与树枝形成的回路 \(C\)；基本回路系统：所有弦的基本回路组成的集合；圈秩：\(\xi(G)=m-n+1\) （基本回路系统中基本回路数量）。广义回路：无向图中的圈或若干个边不重的圈的并。广义回路空间：广义回路全体（含 \(\varnothing\) ）对数域 \(F=\{0,1\}\) 及其定义上的环和（加法）和数乘运算（\(0\cdot C=\varnothing\)，\(1\cdot C=C\)）构成 \(m-n+1\) 维线性空间，任一基本回路系统是它的一个基。p.s.此处需要参见《线性代数》线性空间一章。
(7) 基本割集：生成树的一条树枝和一些弦（显然这些弦是唯一确定的）构成的集合 \(S\)；基本割集系统：所有树枝的基本割集组成的集合；割集秩：\(\eta(G)=n-1\)（基本割集系统中基本割集数量）。广义割集：记 \(V_1\subset V\) 且 \(V_1\neq \varnothing\)，记 \((V_1,\bar V_1)=\{(u,v)|u\in V_1\land v\in \bar V_1\}\) 为广义割集。 任意广义割集都可以表示成一个基本割集系统中一些基本割集的对称差。同理可以定义广义割集空间：广义割集全体（含 \(\varnothing\) ）对数域 \(F=\{0,1\}\) 及其定义上的环和（加法）和数乘运算（\(0\cdot C=\varnothing\)，\(1\cdot C=C\)）构成 \(n-1\) 维线性空间。任一基本割集系统是它的一个基。
(8) 无向带权图中的最小生成树：避圈法（Kruskal 算法），把所有边按照权值从小到大排列并依次取出，若当前边与已在 \(T\) 中的边不能构成回路则将当前边放入 \(T\)，否则弃去当前边；算法停止时得到的 \(T\) 为 \(G\) 的最小生成树。求解单链聚类问题：得到\(k\) - 聚类，使用 Kruskal 算法，直到得到一个 \(k\) 个连通分支的森林。
16.3 根树及其应用
(9) 有向树：基图是无向树的有向图；根树：一个顶点入度为0，其它顶点入度均为1的有向树。树根（根节点，入度为0的点）、树叶（入度为1出度为0的点）、内点（入度为1出度不为0的点）、分支点（内点和树根的统称）、\(v\) 的层数（从树根到某一点 \(v\) 的路径的长度）、树高（所有顶点最大的层数）。
(10) 家族树：定义祖先、后代、父亲、儿子、兄弟的树；\(r\) 叉树（每个分支点最多 \(r\) 个儿子）；\(r\) 叉有序树（兄弟之间定义了顺序）；\(r\) 叉正则树（每个分支点恰好有 \(r\) 个儿子）；\(r\) 叉正则有序树；\(r\) 叉完全正则树（每个树叶的层数均为树高）；\(r\) 叉完全正则有序树。p.s.这里的“二叉完全正则树”在算法竞赛中通常被称为“满二叉树”，而算法竞赛中的“完全二叉树”在这里并不是“二叉完全正则树”。
(11) 以 \(v\) 为根的根子树（子树）：某点及其后代的导出子图。2叉正则有序树的两个儿子的导出根子树称为左子树和右子树。
(12) 对树上每个点定义权值后，树的权为：所有点的权值乘以这个点的层数；所有 \(t\) 片树叶带权 \(w_1,\dots,w_t\) 的2叉树中，权最小的2叉树称作最优2叉树。求解最优二叉树的Huffman算法是优先选择权最小的顶点作为兄弟节点，合并成为根子树。p.s.经典的合并果子
(13) 前缀；前缀码（符号串的集合，使得任意两个符号串都互不为前缀）；2元前缀码（0-1 符号串组成的前缀码）。
(14) 二叉树的周游（行遍）（遍历）：中序行遍法（左子树、树根、右子树）、前序行遍法（树根、左子树、右子树）、后序行遍法（左子树、右子树、树根）。
(15) 二叉树表示四则运算：将运算数放在树叶上，按照运算的顺序依次将运算符放在分支点上，强制定义左边放被减数、被除数。前缀符号法（波兰符号法）：运算符放在运算对象之前；后缀符号法（逆波兰符号法）（逆波兰表达式）：运算符放在两个运算对象之后。
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第十七章 平面图
17.1 平面图的基本概念
(1) 可平面图（平面图）：能够画在平面上，使得除了顶点处外无边相交；平面嵌入：平面图在平面上画出的图；非平面图：无平面嵌入的图。
(2) 平面图的子图都是平面图；非平面图的母图都是非平面图。含有 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\) 作为子图的图都不是平面图。平面图中加平行边或环所得的图还是平面图。
(3) 面：平面嵌入将平面划分成的区域；无限面（外部面）：一个面积无限的面（\(R_0\)）；有限面（内部面）其它面积有限的面（\(R_1,\dots,R_k\)）；边界：包围每个面的所有边组成的回路（可以是圈、简单回路，也可以是复杂回路）；次数：边界的长度（\(\deg(R)\)）。平面图的所有面次数之和等于边数的两倍。
(4) 极大平面图：简单平面图任意两个不相邻顶点之间加一条边都能得到非平面图的图。极大平面图是联通的；阶数大于等于3时，没有割点和桥，并且是极大平面图充要条件为每个面的次数均为3，[必要性]直接构造证明，[充分性]用下一节欧拉公式：有 \(2m=3r,r=2+m-n\) 从而 \(m=3n-6\) ，而不是极大平面图的图一定有 \(m<3n-6\)。极小非平面图：任意删除一条边可以得到平面图的图。
17.2 欧拉公式
(5) 欧拉公式：连通平面图的顶点数、边数、面数满足 \(n-m+r=2\)；证明归纳。推广：有 \(k\) 个连通分支的平面图，有 \(n-m+r=k+1\)。
(6) 联通平面图每个面次至少为 \(l\)，则有 \(m\le \frac{l}{l-2}(n-2)\)。证明：由于握手定理，有 \(2m\ge l\cdot r=l(2+m-n)\)。从而 \(K_5\) 和 \(K_{33}\) 不是平面图。 \(k\) 个联通分支时，有 \(m\le \frac{l}{l-2}(n-k-1)\) 。
(7) 极大平面图有 \(m=3n-6\)；证明：极大平面图的必要性和欧拉公式。简单平面图有 \(m\le 3n-6\)。
(8) 简单平面图的 \(\delta\le 5\) 。反证法，若 \(\delta \ge6\) 则有 \(2m\ge 6n\)，不满足 \(m\le 3n-6\)。
17.3 平面图的判断
(9) 同胚：两个图可以通过插入/删除二度顶点后同构。
(10) Kuratowski定理1：平面图充要条件——图中没有与 \(K_5\) 或 \(K_{33}\) 同胚的子图。
(11) Kuratowski定理2：平面图充要条件——途中没有可以收缩到 \(K_5\) 或 \(K_{33}\) 的子图。
17.4 平面图的对偶图
(12) 对偶图：对于平面嵌入 \(G\) 的每个面 \(R_i\) 放置一个顶点 \(v_i^*\) ；若 \(G\) 的一条边 \(e\) 在 \(R_i\) 和 \(R_j\) 的公共边界上，则 \(e^*=(v_i^*,v_j^*)\)；若 \(e\) 为 \(G\) 的桥并且在面 \(R_i\) 的边界上，则 \(e^*=(v_i^*,v_i^*)\)，\(G^*\) 为 \(G\) 的对偶图。
(13) 对偶图是联通图；环对应的边为桥；桥对应的边为环；大概率为多重图。同一平面图的不同平面嵌入的对偶图不一定同构。
(14) \(k\) 个连通分支的图的对偶图有 \(n^*=r;m^*=m,r^*=n-k+1;d_{G^*}(v_i^*)=\deg(R_i)\)。
(15) \(n\) 阶轮图都是自对偶图。
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第十八章 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
18.1 支配集、点覆盖集与点独立集
(1) 支配集：\(V^*\subseteq V\)，\(\forall v_i\in V-V^*,\exist v_j\in V^* (v_i,v_j)\in E\)，则\(V^*\) 为 \(G\) 的一个支配集，\(v_j\)支配\(v_i\)，人话说就是选一些点，他们闭邻域的并是 \(V\) 。极小支配集（任何真子集都不是支配集的支配集）、最小支配集（点数最少的支配集）、支配数（\(\gamma_0(G)\)，最小支配集的点数）。
(2) 点独立集（独立集）：\(V^*\subseteq V\) 且 \(V^*\) 中任意两个顶点都不相邻；极大点独立集（再加任意的一点都不是独立集的集合）、最大点独立集（点数最多的独立x集）、点独立数（\(\beta_0(G)\)，最大独立集的顶点数）。
(3) 点覆盖集（点覆盖）：\(V^*\subseteq V\)，\(\forall e\in E, \exist v\in V^*\) 满足 \(e\) 和 \(v\) 关联，则\(V^*\) 为 \(G\) 的一个点覆盖集，\(v\) 覆盖 \(e\)。人话说，选一些点，能连接所有边。极小点覆盖（任何真子集都不是点覆盖的点覆盖）、最小点覆盖（点数最少的点覆盖）、点覆盖数（\(\alpha_0(G)\)，最小点覆盖的点数）。
(4)无向图的极大独立集都是极小支配集（反之不一定成立）；点覆盖的补集都是点独立，反之也成立；从而\(\alpha_0+\beta_0=n\)。
18.2 边覆盖集与匹配
(5) 边覆盖集（边覆盖）：图中没有孤立点时，\(E^*\subseteq E, \forall v\in V, \exists e\in E^*\)，\(v\) 与 \(e\) 关联，则 \(E*\) 为 \(G\) 的一个边覆盖集， \(e\) 覆盖 \(v\) ；极小边覆盖（任何真子集都不是边覆盖的边覆盖）；最小边覆盖（边数最小的边覆盖）；边覆盖数（\(\alpha_1(G)\)，最小边覆盖的边数）。有孤立点时，不存在边覆盖。
(6) 边独立集（匹配）：\(E^*\subseteq E\) 且 \(E^*\) 中任意两边不相邻。极大匹配（再加任意一条边不相邻）；最大匹配（边数最多的匹配）、边独立数（匹配数）（\(\beta_1(G)\)，最大匹配的边数）。匹配中的边为匹配边，不在匹配中的边为非匹配边，与匹配边相关联的点称为饱和点，不与匹配边相关联的点称为非匹配点；若所有点都是饱和点，那么匹配为完美匹配；由匹配边和非匹配边交替构成的路径称为交错路径；起点和终点都是非饱和点的路径称为可增广交错路径（增广路），由匹配边和非匹配边构成的圈称为交错圈。
(7) 最大匹配变化为最小边覆盖的方法为：每个非饱和点取一条与其关联的边。最小边覆盖变化为最大匹配的方法为：每对相邻的边移走其中的一条。并且还一定有 \(\alpha_1+\beta_1=n\) 成立。证明过程：第一个过程中，边数由 \(\beta_1\) 加上了不饱和点数目 \(n-2\beta_1\) 变为了 \(n-\beta_1\)；第二个过程中每次移走一条边一定增加一个不饱和点，设最后剩余边数量为 \(M\) （最后的匹配数），那么移去的边数为 \(\alpha_1-M\)，并且一定为不饱和点数 \(n-2M\)，从而 \(M=n-\alpha_1\) 。第一个过程中有 \(n-\beta_1\ge \alpha_1\)，第二过程中有 \(n-\alpha_1\le \beta_1\)，从而有 \(n\le\alpha_1+\beta_1\le n\)，从而三个定理成立。
(8) 一定有任意边覆盖的边数 $\ge \alpha_1\ge \beta_1\ge $ 任意匹配的边数。中间的等号当且仅当完美匹配时成立。
(9) 最大匹配的充要条件：（贝尔热）不存在可增广交错路径。证明：[必要性(最大->不存在)]若存在可增广交错路径，就让他去增广，然后推出不是最大的矛盾。[充分性(不存在->最大)] 设 \(M\) 为“不存在可增广交错路径”的匹配， \(M_1\) 为“最大匹配”，设 \(H=G[M_1\oplus M]\)（让他们对称差然后导出），若 \(H=\varnothing\) 得证；若 \(H\neq\varnothing\) ，\(H\) 的各连通分支一定为：\(M\) 和 \(M_1\) 路径组成的交错圈 or 交错路径；交错圈边数他俩相等不用管；交错路径由于 \(M\) 不可增广，由必要性 \(M_1\) 不可增广，因此交错路径上 两者边数也是相等。从而充分性得证。
18.3 二部图中的匹配
(10) 二分图的完备匹配：\(G=\langle V_1,V_2,E\rangle\) ，匹配数为 \(\min\{|V_1|,|V_2|\}\)。 \(|V_1|=|V_2|\) 的匹配称为完美匹配。
(11) Hall定理（相异性条件）（婚姻定理）（匈牙利算法原理）：\(G=\langle V_1,V_2, E\rangle\) 存在完备匹配的充要条件是：\(V_1\) 中任意 \(k\) 个点与 \(V_2\) 中至少 \(k\) 个点相邻。证明[必要性]：显然；[充分性]： 考虑 \(G\) 的一个最大匹配中 \(V_1\) 中存在不饱和点，从它出发得到一条交错路径，由最大匹配知这条路径不可增广，这样路径上在 \(V_1\) 中的点数比 \(V_2\) 中的点数多 1，与相异性条件矛盾。
(12) （\(t\) 条件）\(G=\langle V_1, V_2, E\rangle\) ，存在正整数 \(t\) 使得 \(V_1\) 中的点均至多关联 \(t\) 条边而 \(V_2\) 中的点均至少关联 \(t\) 条边，则 \(G\) 中存在完备匹配。证明：取 \(k\)，则 \(V_1\) 中任意 \(k\) 个点关联至少 \(kt\) 条边，\(V_2\) 中某个点最多关联 \(t\) 条边，则 \(V_1\) 中任意 \(k\) 个点至少关联 \(k\) 个 \(V_2\) 中的点，从而满足相异性条件。推论：\(k\) - 正则二部图存在完美匹配。
(13) 哥尼（KÖnig）定理：二部图最大匹配边数等于最小覆盖的顶点数。证明：求二部图的最大匹配（匈牙利算法）、带权二部图的最大权匹配（KM算法、网络流）。
18.4 点着色
(14) 点着色（着色）：给图中每个点一个颜色，相邻的点涂不同的颜色。\(k\) - 可着色的：可以用 \(k\) 种颜色完成着色。色数（\(\chi(G)\)）：最小的 \(k\) 。
(15) \(\chi(G)=1\)当且仅当零图；\(\chi(K_n)=n\)；偶圈色数为2；奇圈为3；奇阶轮图为3；偶阶轮图为4；含有至少一条边的二部图的色数为2；\(\chi(G)\le\Delta(G)+1\)（证明对 \(n\) 归纳）。
(16) Brooks定理：不是完全图/奇圈的图 \(G(n\ge 3)\) 有 \(\chi(G)\le \Delta(G)\)。证明（后面再补
18.5 地图着色与平面图的点着色
(17) 地图：连通无桥平面图的平面嵌入及其所有的面；”国家“：面；相邻：面有公共边；面着色：对每个面涂颜色使得相邻面颜色不同；\(k\) - 可面着色：能够用 \(k\) 种颜色完成着色； 面色数 （\(\chi^*(G)\)） ：最小的 \(k\)。
(18) 地图是 \(k\) - 面可着色的充要条件是它的对偶图是 \(k\) - 可着色。
(19) 四色定理：任何平面图是4-可着色的。
18.6 边着色
(19) 边着色：给图中每一条边一个颜色，相邻的边涂不同的颜色；\(k\) - 可边着色的：能用 \(k\) 种颜色给 \(G\) 的边着色；边色数（\(\chi'(G)\)）：最小的 \(k\)。
(20) Vizing定理：简单图的边色数只能是 \(\Delta\) 或 \(\Delta+1\)；二部图的边色数等于 \(\Delta\)；\(n\) 为奇数时 \(\chi'(K_n)=n\)；\(n\) 为偶数是 \(\chi'(K_n)=n-1\)。
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