集合等势

(1)\(\mathbf{N}\approx\mathbf{Q}\)

考虑Stern-Brocot Tree。对于任意有理数，考虑其在Stern-Brocot Tree上的位置，用二进制表示之。

(2)\(\mathbf{N}\not\approx\mathbf{R}\)

\(\forall f: \mathbf{N}\to[0,1)\)，构造实数\(x_0\)，使得\(\forall i\in\mathbf{N}\)有\(x_0\)的二进制小数第\(i\)位不等于\(f(i)\)的二进制小数第\(i\)位。这样，\(\forall i\in\mathbf{N}\)有\(f(i)\neq x_0\)。

(3)\(A\not\approx P(A)\)

对任意\(f\)，如果\(x\not\in f(x)\)就把\(x\)扔到一个集合\(B\)里面。这样子，\(\forall x\in A\)，如果\(x\in f(x)\)得\(x\not\in B\)从而\(f(x)\neq B\)，如果\(x\not\in f(x)\)得\(x\in B\)，从而\(f(x)\neq B\)。从而\(B\)没有和任意\(x\)对应。

(4)\(\mathbf{R}\approx P(\mathbf{N})\)

\(\forall x\in [0,1)\)，设其二进制小数点后第\(i\)位为\(b_i\)，则在\(P(\mathbf{N})\)中对应的元素为\(\{x|b_x=1\}\)

但是这么做是不对的，因为一个数可能有两种表示，这么做只证明了\(P(\mathbf N)\)到\(\mathbf R\)的满射。

还要证明存在一个单射，用十进制表示就可以了。