Kruskal重构树学习笔记

由于懒癌，好久以前就从洛咕日报上有这么个科技了，但是现在才学。

有一种题目就是限制我们边权只能走<=x或>=x的，这种题目显然我们可以离线+kruskal维护，但是他强制在线就有点蛋疼了，这时我们可以用一棵二叉树记录kruskal的合并顺序，在树上搞搞倍增什么的做到在线处理。

具体地说，我们在kruskal合并连通块时，新建一个节点，将当前枚举边的边权赋予这个节点，让这个节点成为这两个连通块代表节点的父亲，并让这个节点成为新连通块的代表节点。

显然，我们最后形成了一棵满足二叉堆性质的树。我们在树上瞎搞搞就可以在线处理。

例如，我们要查询无向图中从某个点p开始经过<=x的边能到达点的数量。我们建立大根Kruskal重构树，维护倍增信息，我们在树上倍增跳p的父亲，直到跳到<=x的最大的点为止，这个子树中叶子节点的数量即为答案。

例题：[NOI2018]归程

做了这题后发现非常水。题目大意就是每次询问从一个节点v开始走，经过边的海拔>p能走到所有点中，距离1号点的距离中最短的是什么。我们先从1号节点跑一遍dij求出所有最短路，然后建立小根Kruskal重构树，对于每个点维护子树中到1号点距离最短的点的距离。在Kruskal树上倍增条到海拔>p的深度最小的那个点，输出那个点存储的最短距离即可。

代码写的不算太丑，就放上来吧。（其实也挺丑的）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct edge
{
	int v, w, ne;
} a[4000010];

struct fuck
{
	int u, v, a;
} e[2000010];

int h[2000010], tmp;
int dis[4000010], ds[4000010], fa[4000010][23], val[4000010];
bool v[2000010];
int n, m;

void add(int x, int y, int z)
{
	a[++tmp] = (edge){y, z, h[x]};
	h[x] = tmp;
}

bool operator>(const fuck &x, const fuck &y)
{
	return x.a > y.a;
}

int getf(int x)
{
	return ds[x] == x ? x : ds[x] = getf(ds[x]);
}

void work()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	tmp = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		h[i] = 0, dis[i] = val[i] = 0x3f3f3f3f, v[i] = false, ds[i] = i, fa[i][0] = 0;
	for (int t, i = 1; i <= m; i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &t, &e[i].a);
		add(e[i].u, e[i].v, t), add(e[i].v, e[i].u, t);
	}
	priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int> >, greater<pair<int, int> > > que;
	que.push(make_pair(0, 1));
	dis[1] = 0;
	while (!que.empty())
	{
		int x = que.top().second;
		que.pop();
		if (v[x] == true)
			continue;
		v[x] = true;
		for (int i = h[x]; i != 0; i = a[i].ne)
			if (v[a[i].v] == false && dis[x] + a[i].w < dis[a[i].v])
				dis[a[i].v] = dis[x] + a[i].w, que.push(make_pair(dis[a[i].v], a[i].v));
	}
	sort(e + 1, e + 1 + m, greater<fuck>());
	int tot = n;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int f1 = getf(e[i].u), f2 = getf(e[i].v);
		if (f1 != f2)
		{
			int p = ++tot;
			ds[p] = p;
			fa[p][0] = 0;
			val[p] = e[i].a;
			dis[p] = min(dis[f1], dis[f2]);
			ds[f1] = p;
			ds[f2] = p;
			fa[f1][0] = p;
			fa[f2][0] = p;
		}
	}
	for (int j = 1; j <= 19; j++)
		for (int i = 1; i <= tot; i++)
			fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
	int q, k, s, lastans = 0;
	val[0] = -2333;
	scanf("%d%d%d", &q, &k, &s);
	for (int v, p, i = 1; i <= q; i++)
	{
		scanf("%d%d", &v, &p);
		v = (v + k * lastans - 1) % n + 1;
		p = (p + k * lastans) % (s + 1);
		for (int i = 19; i >= 0; i--)
			if (val[fa[v][i]] > p)
				v = fa[v][i];
		printf("%d\n", lastans = dis[v]);
	}
}

int main()
{
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t --> 0)
	{
		work();
	}
	return 0;
}

还有一道题是BZOJ3545 Peaks，要用Kruskal重构树+主席树合并维护

代码还没写呢，该好好复习一遍主席树去了。