乘法逆元

逆元定义

如果 \(ax\equiv 1\pmod p\)，则称 \(x\) 为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。

逆元存在当且仅当 \(a\perp p\)，即 \(\gcd(a,p)=1\)。

将 \(ax\equiv 1\pmod p\) 转化可得 \(x\equiv\dfrac{1}{a}\pmod p\)，那么模意义下 \(t \div a\) 就相当于 \(t \times x\)。

快速求单个数的逆元

快速幂

费马小定理

当 \(p\nmid a\) 且 \(p\in\mathbb{P}\) 时，有

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]

由此转化可得 \(a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod p\)，此时就可以发现 \(a^{p-2}\) 即为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。

此时可以用快速幂计算逆元，时间复杂度 \(O(\log p)\)。

扩展欧几里得算法

\(\text{Exgcd}\) 也可以用于求逆元。

由裴蜀定理可知，若 \(a\perp p\)，则必然 \(\exists \, y\)，使得 \(a\times x+p\times y=1\) 成立。

容易发现，\(a\times x+p\times y=1\Leftrightarrow a\times x\equiv 1\pmod p\)。

使用 \(\text{exgcd}\) 解出这个方程即可，时间复杂度 \(O(\log p)\)。

线性求 \(1\sim n\) 的逆元

例题：loj #110. 乘法逆元。

---

现要求在 \(O(n)\) 的时间内，求出模 \(m\) 的意义下，\([1,m)\) 中所有数的乘法逆元。

容易发现，\(\forall\, m\in\mathbb{Z}\)，有 \(1 \times 1 \equiv 1\pmod m\)，所以 \(1\) 的逆元恒为 \(1\)。

考虑 递推。

假设我们已知 \([1,x)\) 内所有数的逆元，需要求出 \(x\) 的逆元。

将模数 \(m\) 表示为 \(kx+t\)，其中 \(k=\Big\lfloor\dfrac{m}{x}\Big\rfloor\)，\(t=m\bmod x\)。

由此可得 \(kx+t\equiv 0\pmod m\)。

两边同乘 \(x^{-1}\times t^{-1}\pmod m\)，可得

\[\begin{aligned} kx\times x^{-1}\times t^{-1}+t\times x^{-1}\times t^{-1}\equiv 0\pmod m\\ k\times t^{-1}+x^{-1}\equiv 0\pmod m\\ \end{aligned} \]

即可得 \(x^{-1}\equiv k\times t^{-1}\pmod m\)。

在此基础上代入 \(k=\Big\lfloor\dfrac{m}{x}\Big\rfloor\)，\(t=m\bmod x\)，可得

\[x^{-1} \equiv -\Big\lfloor\dfrac{m}{x}\Big\rfloor(m\bmod x)^{-1}\pmod m \]

由于 \((m\bmod x)^{-1}\in[1,x)\)，所以 \((m\bmod x)^{-1}\) 已知，线性递推即可。

• \(\textbf{PS 1}\)：当 \(m\bmod x=0\) 时 \(x\) 不存在模 \(m\) 意义下的乘法逆元。
• \(\textbf{PS 2}\)：由于 \(\text{C++}\) 中负数取模的结果为负数，所以在实际实现时递推式应写为 (m - m / x) * inv[m % x] % m。

综上所述，递推式即为：

\[x^{-1}= \begin{cases} 1&x=1\\ -\Big\lfloor\dfrac{m}{x}\Big\rfloor(m\bmod x)^{-1}&x\not=1 \end{cases} \pmod m \]

线性递推即可在 \(O(n)\) 的时间内完成。

线性求任意 \(n\) 个数的逆元

例题：loj #161 乘法逆元 2。

---

显然，对于每一个数用 快速幂 / \(\text{exgcd}\) 求解，时间复杂度为 \(O(n\log p)\)，无法通过本题。

考虑使用前缀积 \(\{s_n\}\)，其中 \(s_i\) 记录 \(\prod_{j=1}^{i}a_j\)。

此外需要前缀积的逆元，使用 \(\{t_n\}\) 序列，其中 \(t_i=s_{i}^{-1}\pmod p\)。

接下来可以通过 快速幂 / \(\text{exgcd}\) 求解 \(s_n\) 的逆元，记为 \(t_n\)。

接下来可以通过如下公式线性递推求出 \(\{t_n\}\)：

\[t_i \equiv s_i^{-1} \equiv \dfrac{1}{\prod_{j=1}^{i}a_j} \equiv \dfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=1}^{i+1}{a_j}} \equiv a_{i+1}\times s_{i+1}^{-1} \equiv a_{i+1}\times t_{i+1}\pmod p \]

记原序列的逆元为 \(\{\text{inv}_n\}\)，其中 \(\text{inv}_i=a_{i}^{-1}\pmod p\)。

由于已知前缀积数组的逆元，那么

\[\text{inv}_i \equiv a_{i}^{-1} \equiv \dfrac{1}{a_i} \equiv \dfrac{1}{\dfrac{s_i}{s_{i-1}}} \equiv \dfrac{s_{i-1}}{s_i} \equiv s_{i-1}\times t_{i} \]

故递推即可，时间复杂度为 \(O(n+\log p)\)，其中 \(O(\log p)\) 是求 \(s_n\) 逆元的复杂度。