形式

若 $a,b\in \mathbb{Z}$，那么对于 $\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{Z}$，$gcd(a,b)\mid a\times x+b\times y$。

此外，一定 $\mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{Z}$，使得 $a\times x+b\times y=gcd(a,b)$ 成立。

证明

证明第一点：

$$\begin{array}{l}\because gcd(a,b)\mid a,gcd(a,b)\mid b\\ \therefore gcd(a,b)\mid ax,gcd(a,b)\mid by(x,y\in \mathbb{Z})\\ \therefore gcd(a,b)=a\times x+b\times y\end{array}$$

证明第二点：

设 $a\times x+b\times y$ 的最小正整数值为 $r$，考虑证明 $amodr=0$。

设 $p=\lfloor {\displaystyle \frac{a}{r}}\rfloor$，则可得 $amodr=a-p\times r$​。

代入 $r$，得到 $amodr=a-p\times (a\times x+b\times y)$。

进一步可得 $a\times (1-p\times x)+b\times (-p\times y)$，这就是 $a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }$​ 的形式。

因为 $0\le amodr<r$，且 $r$ 为 $a\times x+b\times y$ 的最小正整数值，

所以 $amodr=0$，即 $r$ 是 $a$ 的因数。

同理可得 $r$ 也是 $b$ 的因数。

所以 $r$ 是 $a,b$ 的公因数，即 $r\mid gcd(a,b)$。

又因为 $a\times x+b\times y$ 都是 $gcd(a,b)$ 的倍数，所以 $gcd(a,b)\mid r$。

故 $r=gcd(a,b)$。