定理

如果

那么有

证明

引理 1

若 $a\cdot c\equiv b\cdot c(\mathrm{mod}m)$ 且 $c\perp m$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

证明 1

$a\cdot c\equiv b\cdot c(\mathrm{mod}m)$ 可得 $(a-b)\times c\equiv 0(\mathrm{mod}m)$，又因为 $c\perp m$，那么 $(a-b)\times c$ 当且仅当 $a-b$ 是 $m$ 的倍数即 $a-b\equiv 0(\mathrm{mod}m)$，即可得 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

引理 2

若 $a\perp m$，则 $\{a,2a,3a,\dots ,(m-1)a\}$ 是一个模 $m$ 的完全剩余系。

证明 2

考虑使用反证法。

假设 $\mathrm{\exists }i,j\in [1,m-1]\mathrm{and}i\ne j$ 使得 $i\times a\equiv j\times a(\mathrm{mod}m)$，又因为 $a\perp m$，根据 引理 1，可得 $i\equiv j(\mathrm{mod}m)$，而 $i,j\in [1,m-1]$，所以 $i\equiv j(\mathrm{mod}m)$ 当且仅当 $i=j$，与假设矛盾，故得证。

由上述引理，可知 $\{1,2,3,\dots ,p-1\}$ 与 $\{a,2a,3a,\dots ,(p-1)a\}$ 均为模 $p$ 的完全剩余系，那么将两个集合内部元素分别相乘，可得

又因为 $p\in \mathbb{P}$，所以 $\phi (p)=p-1$，故可得 $p\perp (p-1)!$，根据 引理 1，两边同时约去 $(p-1)!$，可知

证毕。