如果
那么有
引理 1 若 a⋅c≡b⋅c(modm) 且 c⊥m,则 a≡b(modm)。
若 a⋅c≡b⋅c(modm) 且 c⊥m,则 a≡b(modm)。
证明 1 a⋅c≡b⋅c(modm) 可得 (a−b)×c≡0(modm),又因为 c⊥m,那么 (a−b)×c 当且仅当 a−b 是 m 的倍数即 a−b≡0(modm),即可得 a≡b(modm)。
a⋅c≡b⋅c(modm) 可得 (a−b)×c≡0(modm),又因为 c⊥m,那么 (a−b)×c 当且仅当 a−b 是 m 的倍数即 a−b≡0(modm),即可得 a≡b(modm)。
引理 2 若 a⊥m,则 {a,2a,3a,…,(m−1)a} 是一个模 m 的完全剩余系。
若 a⊥m,则 {a,2a,3a,…,(m−1)a} 是一个模 m 的完全剩余系。
证明 2 考虑使用反证法。 假设 ∃i,j∈[1,m−1]andi≠j 使得 i×a≡j×a(modm),又因为 a⊥m,根据 引理 1,可得 i≡j(modm),而 i,j∈[1,m−1],所以 i≡j(modm) 当且仅当 i=j,与假设矛盾,故得证。
考虑使用反证法。
假设 ∃i,j∈[1,m−1]andi≠j 使得 i×a≡j×a(modm),又因为 a⊥m,根据 引理 1,可得 i≡j(modm),而 i,j∈[1,m−1],所以 i≡j(modm) 当且仅当 i=j,与假设矛盾,故得证。
由上述引理,可知 {1,2,3,…,p−1} 与 {a,2a,3a,…,(p−1)a} 均为模 p 的完全剩余系,那么将两个集合内部元素分别相乘,可得
又因为 p∈P,所以 φ(p)=p−1,故可得 p⊥(p−1)!,根据 引理 1,两边同时约去 (p−1)!,可知
证毕。
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