费马小定理

定理

如果

pPandpa

那么有

ap11(modp)

证明

引理 1

acbc(modm)cm,则 ab(modm)

证明 1

acbc(modm) 可得 (ab)×c0(modm),又因为 cm,那么 (ab)×c 当且仅当 abm 的倍数即 ab0(modm),即可得 ab(modm)


引理 2

am,则 {a,2a,3a,,(m1)a} 是一个模 m 的完全剩余系。

证明 2

考虑使用反证法。

假设 i,j[1,m1]andij 使得 i×aj×a(modm),又因为 am,根据 引理 1,可得 ij(modm),而 i,j[1,m1],所以 ij(modm) 当且仅当 i=j,与假设矛盾,故得证。

由上述引理,可知 {1,2,3,,p1}{a,2a,3a,,(p1)a} 均为模 p 的完全剩余系,那么将两个集合内部元素分别相乘,可得

(p1)!(p1)!×ap1(modp)

又因为 pP,所以 φ(p)=p1,故可得 p(p1)!,根据 引理 1,两边同时约去 (p1)!,可知

ap11(modp)

证毕。

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