万能欧几里得算法

万能欧几里得算法

一个很 nb 的东西，可以求解基本上见不到的 $\sum^{i=1}_{n}f(x)a^xg(y)b^y\ (y=\lfloor \frac{px+r}{q}\rfloor)$

将其丢到 $y=\lfloor \frac{px+r}{q}\rfloor$ 的平面几何上思考，维护一个矩阵，遇到横线乘 $U$ ，遇到竖线乘 $R$

将得到一个包含 $U$ 和 $R$ 的序列，考虑快速求解

形式化的描述，有 $l$ 个 $R$ 的 $U,R$ 矩阵，以 $R$ 结尾，第 $x$ 个 $R$ 前有 $y=\lfloor \frac{px+r}{q}\rfloor$，求矩阵乘积。

当 $p \ge q$ 时，每个 $R$ 前都有 $\lfloor \frac{p}{q}\rfloor$ 个 $U$ ，进行合并：

$$likegcd(p,q,r,l,U,R)=likegcd(p \% q,q,r,l,U,U^{\lfloor \frac{p}{q}\rfloor}R)$$

当 $p < q$ 时，考虑第 $y$ 个 $U$ 前有多少个 $R$ ，进行翻转：

$$likegcd(p,q,r,l,U,R)=R^{\lfloor \frac{q-r-1}{p}\rfloor}U \times likegcd(q,p,(q−r−1)\%p,cntS−1,R,U) \times R^{l-\lfloor\frac{qcntS-r-1}{p}\rfloor}$$

例题：

luoguP5170【模板】类欧几里得算法

loj#6440 万能欧几里得