杜教筛和Min_25筛

学一遍忘一遍，忘一遍学一遍，生命就是在对抗熵增

这两个玩意儿都是用来求积性函数前缀和的（满足对应要求的非积性函数也可以求一下）

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杜教筛

性质要求相对高一些

求 $\sum_{i=1}^{n}f(i)$ ，需要找到 $g(i),h(i)$，满足 $h=f*g$ 且 $f,g$ 都可以快速求解前缀和

令 $S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$，推推式子：

$$\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =\sum_{d=1}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$$

则

$$g(1)S(n)=\sum^{n}_{i=1}h(i)-\sum^{n}_{d=1}g(d)S(\frac{n}{d})$$

递归求解即可，复杂度为 $O(n^{\frac{3}{4}})$

线性筛预处理前 $n^{\frac{2}{3}}$ 个数后复杂度优化为 $O(n^{\frac{2}{3}})$

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Min_25 筛

许多非积性函数也可以用这玩意求解，本质上是个优化埃氏筛的 DP

求 $\sum_{i=1}^{n}f(i)$

预处理不大于 $\sqrt n$ 的质数，下用 $p_i$ 表示第 $i$ 个质数

先求质数部分的答案

质数部分求解时用一个或多个完全积性函数拟合求解的函数，只要满足质数部分答案相同即可

令该完全积性函数其为 $f_0$

要求 $f_0$ 可以快速求前缀和以及某一个质数的幂对应的函数值

设 $g(n,i)$ 表示前 $n$ 个数中质数以及最小质因数大于 $p_i$ 的合数的答案和（可以看作埃氏筛筛了前 $i$ 个质数后的答案）

初值 $g(n,0)$ 为 $\sum^n_{i=1} f_0(i)$

当 $p_i > \sqrt n$ 时，显然不会再筛掉任何数了，$g(n,i)=g(n,i-1)$

当 $p_i \le \sqrt n$ 时，转移为：

$$g(n,i)=g(n,i-1)-f(p_i)(g(\frac{n}{p_i},i-1)-\sum_{j=1}^{i-1}f(p_j))$$

然后就可以求原函数的答案了

设 $S(n,i)$ 为前 $n$ 个数中最小质因数不小于于 $p_i$ 的 $f(x)$ 之和

有递推式：

$$S(n,i)=g(n,|P|)-\sum_{i=1}^{i-1}f(p_i)+\sum_{j=i}^{p_j^2 \le n}\sum_{e=1}^{p_j^e \le n}(f(p_j^e)S(\frac{n}{p_j^e},j+1)+f(p_j^{e+1}))$$

答案为 $S(n,1)+f(1)$

复杂度为 $O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{logn})$，也有人说是 $O(n^{1-\epsilon})$，好像比杜教筛要优一点

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完结散花