初窥Dijkstra算法、Bellman-Ford、SPFA算法、Floyd算法、迭代加深搜索、A*、IDA*

Dijlkstra算法

Dijkstra算法是一种常见的计算正权图上的单源最短路的算法，能同时用在有向图和无向图上。

其以BFS为基础进行优化。

BFS算法

宽度优先遍历算法，先从起点向周围拓展，再从拓展后的每个点向外拓展，如果某个节点已经访问过，则不再访问该节点。

由于每个节点只访问一次，并且按层逐层向外访问，因此第一次访问到终点时走过的路径就是最短路径。

可以用于无权图的最短路搜索。

通常使用循环和队列进行搜索。

queue<int> Q;
bool visited[maxn];
memset(visited,flase,sizeof(visited));

Q.push(v);
visited[v]=true;
while(!Q.empty()){
    int it=Q.top();
    Q.pop();
    
    //拓展到终点
    if(it==s){
    ...
     break;
    }

    ...//从it向外拓展到itn
    if(!visited[itn])
        Q.push(itn);
}

DFS算法

深度优先遍历，从起点开始，沿着一条分支一直走到终点。

与BFS不同，DFS的在搜索最短路的大多数情况下，是不如BFS的，它更多是用在状态的转移上。

根据已有的状态向下一个状态进行转移。

在较为复杂的迷宫中（牵扯到时间、方向等各种复杂状态）时，用DFS来传递参数会更有优势

由于DFS强调的是状态的转移。因此，更多用递归来实现。

void DFS(...){
    //不符合要求的拓展
    if(...)
        return;
    //达到叶节点
    if(...)
        return;
    ...//向下拓展到itn(n=1、2、……)
    DFS(it1);
    ...
    DFS(itn);
}

当图为有权图时，如果我们想要走最短的路径，就要优先走权值更小的路，这样才能走出最小的解（可证明）

因此，在BFS中，我们在队列中不应该选取先进队的节点，而应该走权值最小的节点。

将BFS的队列(queue)改成优先队列(priority_queue)即可。

然后每次拓展节点后，更新每个节点的权值(取最小)

最后终点的权值就是最小路的距离。

 

Bellman-Ford算法

Dijkstra算法只适用于正权图上最短路，而Bellman-Ford还可计算副权存在时的最短路。

首先要明确：

如果最短路存在，一定存在一个不含环的最短路。

最短路最多只经过(不含起点)n-1个节点，可以通过n-1轮松弛操作得到。

将起点权值设置为0，其他点权值设置为无穷大。

循环节点个数-1次

　　循环边的个数次(i)

　　　　对第i条边进行松弛操作

　　　　检测是否存在负权回路

　　　　　　存在

　　　　　　　返回false

　　　　　　不存在

　　　　　　　继续

 

SPFA算法

Bellman-Ford算法虽然解决了负权路的问题，但是其效率过于底下，并不常使用。

而SPFA算法，是其高效率的替代方法。

其与无权图的BFS较为相近。

不同的是，visited数组记录的不是是否已经访问过，而是是否在队列Q中

每次松弛操作更新估计值(d[i])，如果i点不在队列中，则要把i点入队

如果有边入队的次数超过N次，则说明存在负环。

 

Floyd算法

如果需要求出每两点之间的最短路，则可以使用Floyd算法，这是一个非常简洁的算法

不断进行松弛操作，即可得到最短路径

for(int k=0;k<n;k++)
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);

 

 

迭代加深搜索、A*、IDA*是三种相似并且很有用的算法。

他们是一种解题的思路，并没有具体的实现代码，在脑海中有这种思路，有可能会帮助我们获取解题的思路

迭代加深搜索

迭代加深搜索是一种不断拓展搜索范围的搜索方式。

可以将其形象成一棵树，这棵树有无数层（深度无限深），每一层有无限个节点（无限广）

因此，无论是DFS还是BFS，都不能拓展一支，拓展一层。

而其答案可能就在第二层第二支上……

为了求解这种问题，有了迭代加深搜索。

顾名思义，迭代加深就是逐渐增加搜索的范围。

最初我们只搜索maxd的范围，当maxd内没有我们需要的答案时，我们将maxd+1，而后继续搜索。

for(maxd=1;;maxd++)
    if(dfs(...))
        break;

 

埃及分数问题，是经典的迭代加深问题

在古埃及，人们使用单位分数的和（形如 1/a 的，a 是正整数）表示一切有理数。

如：2/3 = 1/2 + 1/6，但不允许 2/3 = 1/3 + 1/3，因为加数中有相同的。

首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。

首先BFS无法求解这个问题，我们不知道有几个加数；其次DFS也不能求解这个问题，我们不知道加数没有最小值（分母可以无限大）。

因此，我们需要使用迭代加深算法。先让每个加数都大于1/10，进行DFS，如果没有答案，再搜索每个加数都大于1/20……

 

很显然，每次maxd的增加，都导致了重复搜索，不过相比搜索总数指数级的增加，重复搜索的这部分可以忽略……

 

 

 A*算法

A*算法，又称启发式搜索。

用公式表示为

f(n)=g(n)+h(n)

其中

f(n)是初始点经由节点n到目标点的估价函数

g(n)是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价

h(n)是从n到目标结点的最佳路径的估计代价

具体是什么意思呢，就是我们要优先选择一条我们估计最好的分支进行拓展，对于我们估计不是很好的分支进行剪枝。

由于最好只是我们的估计，因此，如果估计的不合理，可能会丢失最优解或者并没有有效提升效率。

与Dijkstra对比，我们可以发现，Dijkstra其实是简化的一种A*算法：

它与A*相比少了剪枝的部分，与BFS相比，多了估价的部分

 

IDA*算法

将迭代加深的有上限的搜索和A*算法的剪枝与估价结合，就得到了IDA*算法

IDA*算法有以下优缺点：

• 优化了A*对空间的小号
• 在每一次迭代的过程中避免了判重
• 比普通的DFS相比更加明确目标，并能够有效剪枝
• 迭代加深会导致重复搜索内容

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