为什么样本方差自由度(分母)为n-1

一、概念、条件及目的

       1.概念

        要理解样本方差的自由度为什么是n-1,得先理解自由度的概念：

        自由度，是指附加给独立的观测值的约束或限制的个数，即一组数据中可以自由取值的个数。

       2.成立条件

        所谓自由取值，是指抽样时选取样本，也就是说：只有当以样本的统计量来估计总体的参数时才有自由度的概念，直接统计总体参数时是没有自由度概念的。

       3.目的

        自由度概念，是为了在通过样本进行参数估计时，剔除系统误差，实现无偏估计。

        设A'=g(X1,X2,...,Xn)是未知参数A的一个点估计量，若A'满足E(A'）= A ，则称A'为A的无偏估计量，否则为有偏估计量。所以，无偏估计就是系统误差为零的估计。

        如果看完以上释义仍觉得有些晦涩难懂，可以阅读下知乎上生动的解说，查看排第一的回答即可，附上链接：

        https://www.zhihu.com/question/22983179

 

二、详解自由度

        当样本数据的个数为n时，若样本平均数 x拔 确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，一次只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值。按照这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k。例如假设样本有3个值，即x1=2,x2=4,x3=9,则当 x拔 =5确定后，x1、x2、x3只有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6,x2=7,那么x3必然取2，而不能取其他值。

       样本方差自由度为什么为n-1呢，因为在计算离差平方和 ∑(x_i -x)² 时，必须先求出样本平均数 x拔，而  x拔 则是附加给  ∑(x_i -x)² 的一个约束，因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个。

 

三、公式推导

      有兴趣的，可以参考果壳网的博文，附上链接

       http://www.guokr.com/question/468100/