卡尔曼滤波之最优状态估计和最优状态估计算法

1. 最优状态估计

情景1：假设一个一个比赛中，不同队伍的自动驾驶汽车使用 GPS 定位，在 100 种不同的地形上各行驶 1 公里。每次都尽可能停在终点。然后计算每只队伍的平均最终位置。

第一组输了：因为虽然方差小，但是偏差大。

第二组输了：因为偏差小，但是方差大

第三组赢了：偏差和方差都小

不能仅仅依靠 GPS 数据，因为它可能有噪声。

目的是：0 偏差 + 最小的方差

可以使用卡尔曼滤波器。

输入是油门，输出是汽车的位置。该系统有多个状态，如下图：

我们简化为：

汽车的输入为速度，该系统只有一个状态：汽车的位置。我们正在测量这个状态，因此矩阵 C = 1。

GPS 读数有噪音，用 v 表示测量噪声，这是一个随机变量。用 w 表示过程噪声，也是随机变量，代表风的影响或者汽车速度的变化。虽然这些随机变量不遵循模式，但是可以使用概率论描述它们的平均属性。

假设 v 服从 0 均值，协方差 R 的高斯分布。因为是单输出系统，协方差 R 是标量，且等于测量噪声的方差。

类似的，过程噪声也是随机的，假设 w 服从 0 均值，协方差 Q 的高斯分布。

因为，测量是有噪声的，因此，测量的并不能反映汽车的真实位置。如果我们知道汽车模型，我们可以将输入放到模型中来估计位置 $\hat{x}_{k}$，但是该估计值也不是完美的，因为还有过程噪声也是随机的。卡尔曼滤波结合测量值和模型预测值来估计汽车的位置。

我们使用概率密度函数来直观讨论卡尔曼滤波器的工作原理。在初始时间 k-1 ，实际汽车位置可能在模型估计值 $\hat{x}_{k-1}$ 附近的任何位置，这种不确定性由概率密度函数描述，汽车最可能在该分布的平均值附近。在下一个时间步，估计的不确定性增大（因为：在时间步 k-1 到 k, 汽车可能经过坑洼，可能车轮打滑，因此可能前进了与模型估计的距离不同的距离。）, 用较大的方差表示。

除了数学模型的预测，还有另外一个信息来源：GPS 测量值。上图橙色的高斯分布表示测量的分布，方差表示测量噪声的不确定性，同样，真正的位置可能是该分布平均值的任何位置。

现在有了预测值和测量值，那么汽车位置的最优估计是什么？

结合这两部分信息，通过将预测和测量的两个概率密度函数相乘，结果也是高斯函数。该高斯的方差小于之前数学模型估计的方差，该高斯的平均值给了我们汽车位置的最优估计。

卡尔曼滤波器可以计算最优无偏差的汽车位置，且方差最小。

2. 最优状态估计算法

状态观测器:（deterministic system）

\[\hat{x}_{k+1}=A \hat{x}_{k}+B u_{k}+K\left(y_{k}-C \hat{x}_{k}\right) \]

卡尔曼滤波器：(stochastic system)

\[\hat{x}_{k} = A \hat{x}_{k-1}+B u_{k}+K_{k}\left(y_{k}-C\left(A \hat{x}_{k-1}+B u_{k}\right)\right) \]

卡尔曼滤波器是一种状态观测器，但是是为随机系统设计的。

\[\hat{x}_{k}=\underbrace{A \hat{x}_{k-1}+B u_{k}}_{\hat{x}_{k}^{-}: A \text { Priori Estimate }}+K_{k}\left(y_{k}-C\left(A \hat{x}_{k-1}+B u_{k}\right)\right) \]

第一步：通过建立的数学模型，使用前一个时间步的预测状态和当前的输入, 预测当前的状态。$\hat{x}_{k}^{-}$ 为先验估计，因为计算它的时候没有使用当前的测量值。简化上面等式：

\[\hat{x}_{k}=\hat{x}_{k}^{-}+K_{k}\left(y_{k}-C \hat{x}_{k}^{-}\right) \]

第二步：等式的第二部分使用的是测量值（$y_{k}$）, 代入方程来更新先验估计, 从而得到后验估计。

\[\overset{A Posteriori Estimate}{\overbrace{\hat{x}_{k}}} =\underbrace{\hat{x}_{k}^{-}}_{\text {Predict }}+\underbrace{K_{k}\left(y_{k}-C \hat{x}_{k}^{-}\right)}_{\text {Update }} \]

具体原理：

第一步：数学模型预测部分。因为系统状态可能是多个，比如位移、速度等，因为一个系统中大多数的状态信息是相互关联的。对于卡尔曼滤波器这些不同状态的关联性用协方差矩阵(covariance matrix) P 表示。

上图中下面的 $P_{k}^{-}$ 计算的是 k 时刻的真实状态 $x_{k}$ 和 k-1 时刻数学模型预测的 k 时刻的状态 $\hat{x}_{k}^{-}$ 之差的协方差矩阵。

$\begin{array}{rcl} P_{k}^{-} & = & cov {x_{k} - {\hat{x}}_{k}^{-}} \\ = & cov {A x_{k - 1} + B u_{k} + w_{k} - A {\hat{x}}_{k - 1}^{-} - B u_{k}} \\ = & cov {A (x_{k - 1} - {\hat{x}}_{k - 1}^{-}) + w_{k}} \\ = & A cov {x_{k - 1} - {\hat{x}}_{k - 1}^{-}} A^{T} + cov {w_{k}} \\ = & A P_{k - 1} A^{T} + Q \end{array}$