1. 为什么使用 Kalman Filters？

1.1 什么是 Kalman Filters？

Kalman Filters 是一种优化估计算法。下面使用使用两个例子说明 Kalman Filters 的用处。

例子1：

用来说明：在系统的状态无法直接被测量时候， Kalman Filters 如何来估算系统状态。

对于飞船的燃烧室，需要监控燃烧室的温度，但是内部温度太高会烧坏传感器，因此只能测量外部温度，那么如何根据测量的外部温度，估计内部问题呢？可以使用 Kalman Filters 利用间接的测量温度，估计内部的温度。

例子2：

用来说明：使用 Kalman Filters, 通过组合多种可能受到噪音影响的数据源，来估计系统的状态。

如何估计汽车的位置？

数据1： 车载传感器惯性测量单元（IMU）, 使用加速度计和陀螺仪来测量汽车的加速度和角速度。

数据2： 里程表，测量汽车行驶的相对距离。

数据3： GPS 接收器接收来自卫星的信号，定位汽车在地球表面的位置。

如果汽车经过一个长的隧道，在隧道中难以使用 GPS 估计位置，因为接收器和卫星的通信被挡住了。
使用 IMU 提供的加速度计算距离（求二次积分），但是小的误差会随着时间不断累积，从而偏差越来越大。
结合 IMU 和里程表，但里程表读数会受到轮胎压力和道路情况的影响。

总结：

IMU 可以测量汽车的相对位置，可以快速更新，但是容易漂移。
GPS 提供绝对位置，更新的慢，并可能存在噪音。

使用 Kalman Filters 结合三个测量值，得到汽车最合适的估算位置。

1.2 Kalman Filters 来源？

优化估计算法：可以在有噪声的情况下，来预测感兴趣的参数，如位置，速度和方向等。

制导和导航控制系统。

在阿波罗登月项目中，使用 Kalman Filters 来估算载人航天器往返月球的轨迹。

1.3 总结

Kalman Filters 是一种设计最优状态观测器的方法。下一节会学习状态观测器。讨论最佳状态观测器。

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2. 状态观测器？

定义： \(\hat{X}\) 为估计状态。

例子：测量飞船燃烧室的温度。

内部温度为：\(T_{in}\), 外部温度为：\(T_{ext}\)。

燃油流量为：\(W_{fuel}\)。

通过对真实燃油系统建立数学模型。那么可以通过该数学模型可以估计系统的内部状态了吗？答：不可以。因为数学模型只是真是系统的近似。如果数学模型是真实系统的完美模型，没有任何不确定性，并且真实系统和数学模型具有相同的初始条件，那么数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 就会与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 相等，那么模型估算的内部温度值：\(\hat{T}_{in}\) 就会与真实的内部温度值：\(T_{in}\) 相等。但是实际上是不可能有完美的模型，即数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 会与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 有误差。因此需要使用状态观测器来估算系统的内部状态。

状态观测器原理：如上图所示，目标是数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 相等，表示数学模型收敛到了真实系统，那么模型估算的内部温度值：\(\hat{T}_{in}\) 就能收敛到真实的内部温度值：\(T_{in}\)。

反馈控制系统，我们使用控制增益 K 试图控制数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 之间的误差为 0。

将该反馈控制系统更新到上面图中，蓝色阴影部分为状态观测器。通过反馈控制，消除数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 之间的误差。那么模型估算的内部温度值：\(\hat{T}_{in}\) 就会收敛到真实的内部温度值：\(T_{in}\)。

总之：

无法测量真实系统内部的温度
但是知道给火箭提供了多少燃料
因此可以建立燃料和估算的外部温度的数学模型，得到估算的外部温度
结合测量的外部温度值来估计系统内部的温度

问题是如何选择控制增益 K 使得测量的外部温度和模型估算的外部温度之间的误差最小？

整理公式得到如下结果：

上述等式的解是一个指数函数，这意味着如果 A-KC<0, 那么模型估算的内部温度值 \(\hat{x}\)：\(\hat{T}_{in}\) 与真实的内部温度值 \(x\)：\(T_{in}\) 之间的误差会随着时间而降低。\(\hat{x}\) 最终会收敛到 \(x\)。

你或许会疑问是否需要 KC 项，即没有反馈回路，即数学模型没有 \(K(y-\hat{x})\) ，也会得到一个误差衰减的指数函数。给状态观测器建立反馈回路的重要性在于：我们可以通过选择相应的控制增益 K 控制误差函数的衰减率。如果衰减率只取决于矩阵 A, 如果数学模型中存在一些不确定性，表示并不知道真实的 A，那么就无法控制误差衰减的速度。使用反馈控制增益可以更好的控制这些方程，从而更快的消除误差。误差消除的越快，估算的状态\(\hat{x}\) 收敛到真实状态 \(x\) 的速度就会越快。