卡尔曼滤波之基本概念和状态观测器
1. 为什么使用 Kalman Filters？
1.1 什么是 Kalman Filters？
Kalman Filters 是一种优化估计算法。下面使用使用两个例子说明 Kalman Filters 的用处。
例子1：
用来说明： 在系统的状态无法直接被测量时候， Kalman Filters 如何来估算系统状态。
对于飞船的燃烧室，需要监控燃烧室的温度，但是内部温度太高会烧坏传感器，因此只能测量外部温度，那么如何根据测量的外部温度，估计内部问题呢？可以使用 Kalman Filters 利用间接的测量温度，估计内部的温度。
例子2：
用来说明： 使用 Kalman Filters, 通过组合多种可能受到噪音影响的数据源，来估计系统的状态。
如何估计汽车的位置？
数据1： 车载传感器 惯性测量单元（IMU）, 使用加速度计和陀螺仪来测量汽车的加速度和角速度。
数据2： 里程表，测量汽车行驶的相对距离。
数据3： GPS 接收器接收来自卫星的信号，定位汽车在地球表面的位置。
- 如果汽车经过一个长的隧道，在隧道中难以使用 GPS 估计位置，因为接收器和卫星的通信被挡住了。
- 使用 IMU 提供的加速度计算距离（求二次积分），但是小的误差会随着时间不断累积，从而偏差越来越大。
- 结合 IMU 和里程表，但里程表读数会受到轮胎压力和道路情况的影响。
总结：
- IMU 可以测量汽车的相对位置，可以快速更新，但是容易漂移。
- GPS 提供绝对位置，更新的慢，并可能存在噪音。
使用 Kalman Filters 结合三个测量值，得到汽车最合适的估算位置。
1.2 Kalman Filters 来源？
优化估计算法：可以在有噪声的情况下，来预测感兴趣的参数，如位置，速度和方向等。
制导和导航控制系统。
在阿波罗登月项目中，使用 Kalman Filters 来估算载人航天器往返月球的轨迹。
1.3 总结
Kalman Filters 是一种设计最优状态观测器的方法。下一节会学习状态观测器。讨论最佳状态观测器。
2. 状态观测器？
定义： \(\hat{X}\) 为估计状态。
例子：测量飞船燃烧室的温度。
内部温度为：\(T_{in}\), 外部温度为：\(T_{ext}\)。
燃油流量为：\(W_{fuel}\)。
通过对真实燃油系统建立数学模型。那么可以通过该数学模型可以估计系统的内部状态了吗？答：不可以。因为数学模型只是真是系统的近似。如果数学模型是真实系统的完美模型，没有任何不确定性，并且真实系统和数学模型具有相同的初始条件，那么数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 就会与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 相等，那么模型估算的内部温度值：\(\hat{T}_{in}\) 就会与真实的内部温度值：\(T_{in}\) 相等。但是实际上是不可能有完美的模型，即数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 会与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 有误差。因此需要使用状态观测器来估算系统的内部状态。
状态观测器原理：如上图所示，目标是数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 相等，表示数学模型收敛到了真实系统，那么模型估算的内部温度值：\(\hat{T}_{in}\) 就能收敛到 真实的内部温度值：\(T_{in}\)。
反馈控制系统，我们使用 控制增益 K 试图控制 数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 之间的误差为 0。
将该反馈控制系统更新到上面图中，蓝色阴影部分为 状态观测器。通过反馈控制，消除数学模型估算的外部测量值： \(\hat{T}_{ext}\) 与真实的外部测量值：\(T_{ext}\) 之间的误差。那么模型估算的内部温度值：\(\hat{T}_{in}\) 就会收敛到 真实的内部温度值：\(T_{in}\)。
总之：
- 无法测量真实系统内部的温度
- 但是知道给火箭提供了多少燃料
- 因此可以建立 燃料和估算的外部温度的数学模型，得到估算的外部温度
- 结合测量的外部温度值来估计系统内部的温度
问题是如何选择控制增益 K 使得测量的外部温度和模型估算的外部温度之间的误差最小？
整理公式得到如下结果：
上述等式的解是一个指数函数，这意味着如果 A-KC<0, 那么模型估算的内部温度值 \(\hat{x}\)：\(\hat{T}_{in}\) 与 真实的内部温度值 \(x\)：\(T_{in}\) 之间的误差会随着时间而降低。\(\hat{x}\) 最终会收敛到 \(x\)。
你或许会疑问是否需要 KC 项，即没有反馈回路，即数学模型没有 \(K(y-\hat{x})\) ，也会得到一个误差衰减的指数函数。给状态观测器建立反馈回路的重要性在于 ： 我们可以通过选择相应的控制增益 K 控制误差函数的衰减率。如果 衰减率只取决于 矩阵 A, 如果数学模型中存在一些不确定性，表示并不知道真实的 A，那么就无法控制误差衰减的速度。使用反馈控制增益可以更好的控制这些方程，从而更快的消除误差。误差消除的越快，估算的状态\(\hat{x}\) 收敛到 真实状态 \(x\) 的速度就会越快。
选择反馈控制增益 K 的最佳方法就是 Kalman Filters。
