[CEOI2004] Sweets

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容斥板子，不知道为啥题解都是生成函数

考虑可重集容斥，对于$ S=\begin{Bmatrix} n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\cdots,n_k\cdot a_k, \end{Bmatrix}$表示由 \(n_1\) 个 \(a_1\) ， \(n_2\) 个 \(a_2\) ，…， \(n_k\) 个 \(a_k\) 组成的多重集。那么对于正整数 \(r\) ，从 \(S\) 中选择 \(r\) 个元素组成一个多重集的方案数。

通过容斥这个东西的答案为 $ Ans= \sum_{A} ( -1)^{|A|} \binom{ k+r-1- \sum_{A} n_{A_i}-|A| } {k-1} $

带回原式子$ Ans= \sum_{A} ( -1)^{|A|} \sum_{r=a}^{b}\limits \binom{ n+r-1- \sum_{A} m_{A_i}-|A| } {n-1} $

尝试把右面一坨化一下，$$\sum_{r=a}^{b}\limits \binom{ n+r-1- \sum_{A} m_{A_i}-|A| } {n-1} $$

\[=\sum_{r=0}^{b}\limits \binom{ n+r-1- \sum_{A} m_{A_i}-|A| } {n-1}-\sum_{r=0}^{a-1}\limits \binom{ n+r-1- \sum_{A} m_{A_i}-|A| } {n-1} \]

令 \(X=n-1-\sum_{A} m_{A_i}-|A| ,m=n-1\)

\[=\sum_{r=0}^{b}\limits \binom{ X+r } {m}-\sum_{r=0}^{a-1}\limits \binom{ X+r } {m} \]

这时候我们的问题变为处理 $\sum_{i=0}^{x}\limits \binom{ n+i } {m} $ ，再换一下：$\sum_{i=n}^{x+n}\limits \binom{ i } {m} $ , 然后继续拆 : \(\sum_{i=0}^{x+n}\limits \binom{ i } {m}-\sum_{i=0}^{n-1}\limits \binom{ i } {m}\)

然后 \(\sum_{i=0}^{n}\limits \binom{ i } {m}\) 就可以求了，还是那个范德蒙德卷积，公式不放了，以前博客有， \(\sum_{i=0}^{n}\limits \binom{ i } {m}=\binom{ n+1 } {m+1}\) 。再带回原式子即可

令 $X=n-1-\sum_{A} m_{A_i}-|A| $

\[Ans= \sum_{A} ( -1)^{|A|} \binom{ b+X+1 } {n}-\binom{ b } {n}-\binom{ a+X } {n}+\binom{ a-1 } {n} \]

一个比较特殊的点，向 \(wlesq\) 学习了一下，模数不是质数，观察到组合数有一项都是 \(n\),且 \(n<=10\)，所以直接让模数乘 \(n!\),在组合数中用新模数暴力求,复杂度 \(O(2^n n)\)

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int mod=2004;
const int maxn=1e7+100;
using namespace std;
int n,m[11],a,b,ans;

int c(int n,int m)
{
	if(m>n) return 0;
	int M=2004,x=1,y=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) x*=i,M*=i;
	for(int i=n-m+1;i<=n;i++) y=y*i%M;
	return (y/x)%mod;
}

signed main()
{
	// freopen("T.in","r",stdin);
	// freopen("T.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>a>>b;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>m[i];
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
	{
		int num=0,sum=0;
		for(int j=9;j>=0;j--)
			if((1<<j)&i) sum+=m[j+1],num++;
		int x=n-1-sum-num;
		if(!(num&1)) ans=((((ans+c(b+x+1,n))%mod-c(b,n)+mod)%mod-c(a+x,n)+mod)%mod+c(a-1,n))%mod;
		else ans=((((ans-c(b+x+1,n)+mod)%mod+c(b,n))%mod+c(a+x,n))%mod-c(a-1,n)+mod)%mod;
	}
	cout<<ans;

	return 0;
}
/*

*/