置换,群论初探

写的不好别D啊,算是一些知识的归纳(虽然也是看的别人的学的吧


群论

仙姑

置换

置换与排列

对于一个集合 D ,其大小为 |D|,而排列是指这 |D| 个元素按照某种规定按一定顺序进行重新组成。而置换是指对这 |D| 个元素重新排列,不同元素之间交换位置,从而形成新的排列。同时,集合 D 可以形成的置换数目为 |D|!,注意 0!=1,指空集合只有一个置换,即为空置换。

置换的表示

置换用符号 σ 表示,例如对于排列1,2,3,4,5,6,其一个置换为 σ=364152,其中 σ(1)=3,σ(2)=6...σ(6)=2。常表示为σ=(x1x2xnxp1xp2xpn).,这实际上就是有限集 X在自身上的双射,而一个集合上的置换在函数合成运算下构成一个群,称为对称群。对称群的一个n元子群是n元置换群,这里不过多叙述。

轮换分解

还有一种表示方法叫轮换分解,具体方法看oi-wiki,不写了,像上面提到的例子可以轮换表示为 σ=(134)(26)(5)=(134)(26) ,每一对括号中,都是一个轮换。括号中的元素个数,称为对应轮换的长度。实践中,常常省略掉长度为一的轮换。恒等变换中所有的轮换长度都是一,常常记作 (1) 而不是全部省略

置换的轮换分解由于其特殊的循环性质,导致其可以清晰的用几何表示,将置换中的一组数 (x,σ(x)) 看作一条边,则整个置换便是由若干个不相交的环构成的,每一个环就代表了一个轮换。任何置换都可以写成一系列对换的乘积,我们考虑一下一次对换对轮换的影响。

1:两个元素属于同一轮换:
image
2:两个元素属于不同轮换:
image

从上图可知,一次对换会使置换的轮换数变化 1,这也证明了一次对换必定改变置换的奇偶性

置换的乘法

就是置换的复合,即如果有两个置换

f=(x1x2xnxp1xp2xpn), g=(x1x2xnxq1xq2xqn)

那么他们的乘积为

fg=(x1x2xnxqp1xqp2xqpn)

置换的性质

奇偶性

置换分解成一系列对换的方式不是唯一的(毕竟只考虑结果,过程很多样),但分解出来的对换的个数的奇偶性是相同的,可以用上面的那个结论证明。而一个置换的对换分解的数目的奇偶性就是置换的奇偶性。

一个快速判断置换奇偶性的式子,设 n 个元素做轮换分解后有 k(σ) 个轮换,则置换 σ 的奇偶性与 nk(σ) 相同。

n>=2 时,n 元置换群中奇置换和偶置换数目相等

证明:我们设Sn表示 n 元置换群, X={s1,s2sm} 表示全部其中的全部奇置换,Y 表示其中的全部偶置换,取群中任意对换 σ,对于X 中任意置换 si ,根据群的封闭性,都有 σsiSn ,又因 σsi 是偶置换,则 σsiY,又因群内置换各不相同,所以 X,Y 的个数均为 Sn 大小的一半,即 n!2

置换的阶

置换的阶(order)是指满足如下条件的最小正整数 a:重复该置换 a 次后,所有元素都回到了原位。即ordσ=min{aN+:σa=(1)}
一个置换的阶也等于其轮换分解后的,每一个轮换长度的 lcm

柯西公式

对称群 sn 中格式为 (α1,α2αn) 的置换(共轭类 sn 的元素个数)的个数为

n!1α12α2nαnα1!α2!αn!

(简化一下,就是长度为 k 的轮换有 ak 个,问不同的置换的数目)

证明:
任何一个长度为 n 的排列,都可以根据要求分割为对应的轮换分解,共 n! 种,但长度相同的轮换位置没有影响,要除以 kαk!,同一个轮换内部的元素组成了一个环,顺序也无影响,所以要除以 kkαk,


参考博客:
Permutation (排列与置换)
置换入门(知识点)
置换和排列
群论学习小记
同构 与 同态

posted @   _君の名は  阅读(133)  评论(1编辑  收藏  举报
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