写的不好别D啊,算是一些知识的归纳(虽然也是看的别人的学的吧)
群论
仙姑
置换
置换与排列
对于一个集合 ,其大小为 ,而排列是指这 个元素按照某种规定按一定顺序进行重新组成。而置换是指对这 个元素重新排列,不同元素之间交换位置,从而形成新的排列。同时,集合 可以形成的置换数目为 ,注意 0!=1,指空集合只有一个置换,即为空置换。
置换的表示
置换用符号 表示,例如对于排列1,2,3,4,5,6,其一个置换为 ,其中 。常表示为,这实际上就是有限集 在自身上的双射,而一个集合上的置换在函数合成运算下构成一个群,称为对称群。对称群的一个n元子群是n元置换群,这里不过多叙述。
轮换分解
还有一种表示方法叫轮换分解,具体方法看oi-wiki,不写了,像上面提到的例子可以轮换表示为 ,每一对括号中,都是一个轮换。括号中的元素个数,称为对应轮换的长度。实践中,常常省略掉长度为一的轮换。恒等变换中所有的轮换长度都是一,常常记作 而不是全部省略
置换的轮换分解由于其特殊的循环性质,导致其可以清晰的用几何表示,将置换中的一组数 看作一条边,则整个置换便是由若干个不相交的环构成的,每一个环就代表了一个轮换。任何置换都可以写成一系列对换的乘积,我们考虑一下一次对换对轮换的影响。
1:两个元素属于同一轮换:

2:两个元素属于不同轮换:

从上图可知,一次对换会使置换的轮换数变化 ,这也证明了一次对换必定改变置换的奇偶性。
置换的乘法
就是置换的复合,即如果有两个置换
那么他们的乘积为
置换的性质
奇偶性
置换分解成一系列对换的方式不是唯一的(毕竟只考虑结果,过程很多样),但分解出来的对换的个数的奇偶性是相同的,可以用上面的那个结论证明。而一个置换的对换分解的数目的奇偶性就是置换的奇偶性。
一个快速判断置换奇偶性的式子,设 个元素做轮换分解后有 个轮换,则置换 的奇偶性与 相同。
时, 元置换群中奇置换和偶置换数目相等
证明:我们设表示 元置换群, 表示全部其中的全部奇置换, 表示其中的全部偶置换,取群中任意对换 ,对于 中任意置换 ,根据群的封闭性,都有 ,又因 是偶置换,则 ,又因群内置换各不相同,所以 的个数均为 大小的一半,即
置换的阶
置换的阶(order)是指满足如下条件的最小正整数 :重复该置换 次后,所有元素都回到了原位。即
一个置换的阶也等于其轮换分解后的,每一个轮换长度的 。
柯西公式
对称群 中格式为 的置换(共轭类 的元素个数)的个数为
(简化一下,就是长度为 的轮换有 个,问不同的置换的数目)
证明:
任何一个长度为 的排列,都可以根据要求分割为对应的轮换分解,共 种,但长度相同的轮换位置没有影响,要除以 ,同一个轮换内部的元素组成了一个环,顺序也无影响,所以要除以 ,
参考博客:
Permutation (排列与置换)
置换入门(知识点)
置换和排列
群论学习小记
同构 与 同态
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