置换，群论初探

写的不好别D啊，算是一些知识的归纳（虽然也是看的别人的学的吧）

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群论

仙姑

置换

置换与排列

对于一个集合 \(D\) ，其大小为 \(|D|\)，而排列是指这 \(|D|\) 个元素按照某种规定按一定顺序进行重新组成。而置换是指对这 \(|D|\) 个元素重新排列，不同元素之间交换位置，从而形成新的排列。同时，集合 \(D\) 可以形成的置换数目为 \(|D|!\),注意 0！=1，指空集合只有一个置换，即为空置换。

置换的表示

置换用符号 \(\sigma\) 表示，例如对于排列1，2，3，4，5，6，其一个置换为 \(\sigma=364152\),其中 \(\sigma(1)=3,\sigma(2)=6...\sigma(6)=2\)。常表示为\(\sigma=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_{p_1}&x_{p_2}&\cdots&x_{p_n}\end{pmatrix}.\),这实际上就是有限集 \(X\)在自身上的双射,而一个集合上的置换在函数合成运算下构成一个群，称为对称群。对称群的一个n元子群是n元置换群，这里不过多叙述。

轮换分解

还有一种表示方法叫轮换分解，具体方法看oi-wiki，不写了，像上面提到的例子可以轮换表示为 \(\sigma=(134)(26)(5)=(134)(26)\) ，每一对括号中，都是一个轮换。括号中的元素个数，称为对应轮换的长度。实践中，常常省略掉长度为一的轮换。恒等变换中所有的轮换长度都是一，常常记作 \((1)\) 而不是全部省略

置换的轮换分解由于其特殊的循环性质，导致其可以清晰的用几何表示，将置换中的一组数 \((x,\sigma(x))\) 看作一条边，则整个置换便是由若干个不相交的环构成的，每一个环就代表了一个轮换。任何置换都可以写成一系列对换的乘积，我们考虑一下一次对换对轮换的影响。

1：两个元素属于同一轮换：

2：两个元素属于不同轮换：

从上图可知，一次对换会使置换的轮换数变化 \(1\),这也证明了一次对换必定改变置换的奇偶性。

置换的乘法

就是置换的复合，即如果有两个置换

\[f=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_{p_1}&x_{p_2}&\cdots&x_{p_n}\end{pmatrix},\ g=\begin{pmatrix}x_{1}&x_2&\cdots&x_{n}\\ x_{q_1}&x_{q_2}&\cdots&x_{q_n}\end{pmatrix} \]

那么他们的乘积为

\[f\circ g=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_{q_{p_1}}&x_{q_{p_2}}&\cdots&x_{q_{p_n}}\end{pmatrix}\]

置换的性质

奇偶性

置换分解成一系列对换的方式不是唯一的(毕竟只考虑结果，过程很多样)，但分解出来的对换的个数的奇偶性是相同的，可以用上面的那个结论证明。而一个置换的对换分解的数目的奇偶性就是置换的奇偶性。

一个快速判断置换奇偶性的式子，设 \(n\) 个元素做轮换分解后有 \(k(\sigma)\) 个轮换，则置换 \(\sigma\) 的奇偶性与 \(n-k(\sigma)\) 相同。

\(n>=2\) 时，\(n\) 元置换群中奇置换和偶置换数目相等

证明：我们设\(S_n\)表示 \(n\) 元置换群， \(X=\{s_1,s_2\cdots s_m\}\) 表示全部其中的全部奇置换，\(Y\) 表示其中的全部偶置换，取群中任意对换 \(\sigma\)，对于\(X\) 中任意置换 \(s_i\) ,根据群的封闭性，都有 \(\sigma \cdot s_i \in S_n\) ,又因 \(\sigma \cdot s_i\) 是偶置换，则 \(\sigma \cdot s_i \in Y\)，又因群内置换各不相同,所以 \(X,Y\) 的个数均为 \(S_n\) 大小的一半，即 \(\frac{n!}{2}。\)

置换的阶

置换的阶（order）是指满足如下条件的最小正整数 \(a\)：重复该置换 \(a\) 次后，所有元素都回到了原位。即$$\operatorname{ord} \sigma = \min \begin{Bmatrix} a \in \mathbf N_+: \sigma^a=(1) \end{Bmatrix}$$
一个置换的阶也等于其轮换分解后的，每一个轮换长度的 \(lcm\) 。

柯西公式

对称群 \(s_n\) 中格式为 \((\alpha_1,\alpha_2\cdots \alpha_n)\) 的置换（共轭类 \(s_n\) 的元素个数）的个数为

\[\frac{n!}{1^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots n^{\alpha_n}\alpha_1!\alpha_2!\cdots \alpha_n!} \]

（简化一下，就是长度为 \(k\) 的轮换有 \(a_k\) 个，问不同的置换的数目）

证明：
任何一个长度为 \(n\) 的排列，都可以根据要求分割为对应的轮换分解，共 \(n!\) 种，但长度相同的轮换位置没有影响，要除以 $ \prod_k\alpha_k!$,同一个轮换内部的元素组成了一个环，顺序也无影响，所以要除以 \(\prod_kk^{\alpha_k}\),

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参考博客：
Permutation (排列与置换)
置换入门（知识点）
置换和排列
群论学习小记
同构 与 同态