卡牌
upd on 2024.10.14 增加了多步容斥的原因
题目就是让你找出一组数，使其乘积是给出的质数的倍数，问有多少组这样的数
因为它是质数，一开始考虑单独求解，用质因子含一个质数的乘积减含两个数的加上含三个数的。。。然后就发现所有组合
都要算一遍，复杂的 \(2^k-1\) (\(k\) 为质数个数)（这不就是暴力）
（在考虑了一堆性质之后发现正着容斥根本写不了，然后就去看题解了，然后就看到了“正难则反”。。。）
（好吧，其实我是小丑）
先把那一堆性质列一下：
- 1：一个数最多有4个质数
- 2：一个数最多有一个大于43的质因数
- 3：可多次出现的质因数不超过14个
- 4：2000以内只有不到305个质数
- 5：\(\sum_{i=1}^{n}\limits \dbinom{n}{i}=2^n-1\)
考虑包含的不好处理，直接考虑不包含的，根据上面性质我们可以发现，可以把质因数从43分开，进行值域分块，前14个去状
压那些数不包含，43之后的一个一个单独处理。设 \(f_{k,x}\) 表示 \(k\) 状态下，是 \(x\) 的倍数的数有多少，容斥即可
求方案数的话,设满足状态 \(k\) 的数个数为 \(num\),出现的 \(x\) 的 \(\sum f_{k,x}=cnt\),对每一个 \(x\)，至少选一个，方案数 \(2^{f_{k,x}}-1\)
剩下的 \(num-cnt\) 个数选不选无所谓，方案数 \(2^{num-cnt}\)。
枚举状态容斥时有一个要注意的点，枚举出来的状态应该是给出质数的子集，这个地方不好理解，给大家手摸一下
假设我们给出的质数是 \(3,5,11\),那状压表示即为 \(10110\) ,按我们上面枚举子集，一开始是 \(00000\) 这样表示每个数都不确定
的方案数，但我们要求的是 \(3,5,11\) 确定要选的，这里面多了不选的方案数，注意，这里不能直接单步容斥，因为这里多了的
是不选的方案数，不是它们同时不选的方案数。所以我们减去 \(10000,00100,00010\) 等一个不选的，后面容斥类比，再加上
两个不选的，再减去三个不选的。。。
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
const int mod=998244353;
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int n,t,c[18005],cnt[2005],phi[350],rk[2005],tot,del[2005],f[(1<<14)+10][350],tem[(1<<14)+10];
int s[2005][6],num[2005];
bool vis[2005];
void pre()
{
for(int i=2;i<=2000;i++)
{
if(vis[i])continue;
if(!vis[i])phi[++tot]=i,rk[i]=tot;
for(int j=i*2;j<=2000;j+=i)
vis[j]=1;
}
for(int i=1;i<=2000;i++)
{
for(int j=1;j<=tot;j++)
{
if(i%phi[j])continue;
if(j<=14)del[i]|=(1<<j-1);
s[i][++num[i]]=j;
}
}
}
int qpow(int x,int y)
{
int ans=1;
while(y)
{
if(y&1)ans=1ll*ans*x%mod;
x=1ll*x*x%mod;
y>>=1;
}
return ans;
}
int count(int x)
{
int temp=0;
for(int i=15;i>=0;i--)
if((1<<i&x)) temp++;
return temp;
}
int main()
{
// freopen("T.in","r",stdin);
// freopen("T.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
pre();
for(int i=1,x;i<=n;i++)
{
cin>>x;
cnt[x]++;
}
for(int i=0;i<(1<<14);i++)
{
for(int j=2;j<=2000;j++)
{
if(del[j]&i)continue;
if(s[j][num[j]]>14)f[i][s[j][num[j]]]+=cnt[j];
tem[i]+=cnt[j];
}
tem[i]+=cnt[1];
}
cin>>t;
while(t--)
{
int temp=0,ans=0;
cin>>c[0];
for(int i=1,x;i<=c[0];i++)
{
cin>>c[i];
if(rk[c[i]]<=14)temp|=(1<<rk[c[i]]-1);
}
// cout<<temp<<"!"<<endl;
// cout<<tem[1]<<" "<<tem[4]<<" "<<tem[5]<<endl;
for(int i=0;i<(1<<14);i++)
{
if((i|temp)!=temp) continue;
// cout<<i<<" "<<tem[i]<<endl;
int s1=tem[i],s2=1;
for(int j=1;j<=c[0];j++)
{
if(rk[c[j]]<=14) continue;
s2=1ll*s2*(qpow(2,f[i][rk[c[j]]])-1)%mod;
s1-=f[i][rk[c[j]]];
}
s2=1ll*s2*qpow(2,s1)%mod;
if(count(i)&1) ans=1ll*(ans-s2+mod)%mod;
else ans=1ll*(ans+s2)%mod;
}
cout<<ans<<'\n';
}
return 0;
}
/*
*/
stars
