lca总结+树上差分
lca
lca简称最近公共祖先——简介在此，不过多赘述
黑科技——\(dfs\) 序求 \(lca\)
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struct LCA
{
int dfn[maxn],tot,deep[maxn],st[20][maxn];
int get(int x,int y) {return deep[x]<deep[y]?x:y;}
void dfs(int u,int fa)
{
dfn[u]=++tot,st[0][tot]=fa; deep[u]=deep[fa]+1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=fa) dfs(to[i],u);
}
void init()
{
dfs(1,0);
for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)
for(int j=1;j<=n-(1<<i)+1;j++)
st[i][j]=get(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<i-1)]);
}
int lca(int x,int y)
{
if(x==y) return x;
if((x=dfn[x])>(y=dfn[y])) swap(x,y);
int l=__lg(y-x);
return get(st[l][x+1],st[l][y-(1<<l)+1]);
}
}e;
这里主要写的是倍增算法，oi-wiki上用的是vector，由于本人不会，只会用链表，所以这里就放链表的代码了
例题
加一个数组按倍增数组的方式存距离即可
题解——点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int n,m,root,nxt[maxn<<2],to[maxn<<2],head[maxn<<2],tot,val[maxn<<2];
int cnt,dep[maxn<<2],f[maxn][20],dis[maxn][20];
void add(int x,int y,int z)
{
to[++tot]=y;
val[tot]=z;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs(int u,int fa,int dist)
{
dis[u][0]=dist;
f[u][0]=fa;
dep[u]=dep[fa]+1;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
{
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
dis[u][i]=dis[u][i-1]+dis[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa) continue;
dfs(y,u,val[i]);
}
}
int lca(int x,int y)
{
int res=0;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=17;i>=0;i--)
{
if(dep[y]+(1<<i)<=dep[x]) res+=dis[x][i],x=f[x][i];
}
if(x==y) return res;
for(int i=17;i>=0;i--)
{
if(f[y][i]!=f[x][i])
{
res+=dis[x][i];
res+=dis[y][i];
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return dis[x][0]+dis[y][0]+res;
}
signed main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
char aa[2];
int x,y,z;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld %s ",&x,&y,&z,&aa[1]);
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
dfs(1,0,0);
int k;
scanf("%lld",&k);
for(int i=1;i<=k;i++)
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
printf("%lld\n",lca(x,y));
}
return 0;
}
树上差分
主要用途是在树上的一些统计计数操作，对树上两点路径的操作用的
主要思想
dfs深搜实现，在两端结点计数，在深搜回溯时把计数的操作从子节点传递到父节点，用下面这个图理解一下
假设我们有这样一张图，我们要在6和8两个节点间的路径加一，那我们在用树上差分时，在两端+1，会发现它们的最近公共
祖先2及以上祖先都加了2，我们的目的是让2加1，2的祖先不变，则我们需要在2处减一，2的父亲处再减一即可
题解
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int n,m,root,head[maxn<<2],tot,sum;
int cnt,dep[maxn<<2],f[maxn][21],tg[maxn],a[maxn];
bool vis[maxn<<2];
struct tree{int to,val,nxt;}e[maxn<<2];
void add(int x,int y)
{
e[++tot].to=y;
e[tot].nxt=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
vis[u]=1;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
{
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
{
int y=e[i].to;
if(vis[y]||y==fa) continue;
f[y][0]=u;
dep[y]=dep[u]+1;
dfs1(y,u);
}
}
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(dep[x]>=dep[y]+(1<<i)) x=f[x][i];
}
if(x==y) return x;
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
void dfs(int u)
{
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
{
int y=e[i].to;
if(vis[y])continue;
dfs(y);
tg[u]+=tg[y];
}
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
}
int x,y;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs1(1,0);
for(int i=1;i<n;i++)
{
tg[a[i]]++;
tg[a[i+1]]++;
tg[ lca(a[i],a[i+1]) ]--;
tg[f[ lca(a[i],a[i+1]) ][0]]--;
/*
en~~,神奇的东西，相邻的加1，但从a[2]到a[3]时a[2]不用加1，这就导致除了首尾糖果都 多加了1，但到最后一个糖果时不用拿，所以只有第一个位置的糖果是对的
所以让第一个糖果数加1，最后输出时都减一就好了
*/
}
memset(vis,0,sizeof vis);
dfs(1);
tg[a[1]]++;
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",tg[i]-1);
return 0;
}
拓展
1.求树上一点走k步可以走到的点的个数
将其 \(k\) 级祖先内的点加 \(1\) 用树上差分可以实现，这里再加一种更简便的思路
\(dfs\) 一遍，维护一个栈，进一个点时记一下数量，回溯时再记一下数量，回溯是把距离超过 \(k\) 的点从栈中删了
这里记的两个数量差就是 \(k\) 步可以走到的。复杂度 \(O(n)\)
点击查看代码
void dfs(int &num,int x,int fa,int d)
{
int t=num;
if(d>top)st[++top]=0;
num++,st[d]++;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa)continue;
dfs(num,y,x,d+1);
}
ans[x]=num-t;
if(top==d+k) num-=st[top--];
}
2.环上差分
环上差分需要先找环，适用于环上的点对一段区间有影响问题
floyd找环法
while(u!=y&&u!=to[y])u=to[u],y=to[to[y]];
环上差分和树上差分差不多，都是信息一步一步向上传来统计的
题解
#include<bits/stdc++.h>
const int maxn=5e5+10;
using namespace std;
int n,k,tot,head[maxn],to[maxn],nxt[maxn],v[maxn];
int st[maxn],top,ans[maxn],a[maxn],cnt,s[maxn];
void add(int x,int y)
{
to[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs(int &num,int x,int fa,int d)
{
// cout<<x<<" "<<fa<<" "<<d<<endl;
int t=num;
if(d>top)st[++top]=0;
num++,st[d]++;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa)continue;
dfs(num,y,x,d+1);
}
ans[x]=num-t;
if(top==d+k) num-=st[top--];
}
inline int mo(int i,int x){return i+x<=cnt?i+x:i+x-cnt;}
void solve(int x)
{
int u=x,y=v[x];
while(u!=y&&u!=v[y])u=v[u],y=v[v[y]];
a[cnt=1]=u;
for(int i=v[u];i!=u;i=v[i])a[++cnt]=i;
// for(int i=1;i<=cnt;i++)s[i]=0;
fill(s+1,s+cnt+1,0);
int sum=min(k+1,cnt);
// cout<<cnt<<" !"<<endl;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
for(int j=head[a[i]];j;j=nxt[j])
{
int y=to[j];
if(y==a[mo(i,cnt-1)])continue;
int num=0;
st[top=0]=0;
dfs(num,y,a[i],1);
for(int d=1;d<=top;d++)
{
int temp=st[d];
if(k-d>=cnt)sum+=temp;
else
{
int m=mo(i,k-d+1);
s[i]+=temp,s[m]-=temp;
if(m<=i) s[1]+=temp;
}
}
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++) sum+=s[i],ans[a[i]]=sum;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
cin>>x;
add(x,i);
v[i]=x;
// ans[i]=-1;
}
fill(ans+1,ans+1+n,-1);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(ans[i]==-1) solve(i);
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<ans[i]<<'\n';
return 0;
}
/*
6 2
2
3
4
5
4
3
*/
你已完成新手教程，下面开启困难模式
树上差分计数变形
题解——二分加树上差分
#include<bits/stdc++.h>
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int n,m,root,head[maxn],tot,a[maxn],b[maxn];
int cnt,dep[maxn],f[maxn][21],dis[maxn][21],sum[maxn],l,r,ans;
bool vis[maxn];
struct tree{int to,val,nxt;}e[maxn<<2];
struct node{int a,b,anc,val;}le[maxn<<2];
void add(int x,int y,int z)
{
e[++tot].to=y;
e[tot].nxt=head[x];
e[tot].val=z;
head[x]=tot;
}
void dfs(int u,int fa)
{
vis[u]=1;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
{
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
dis[u][i]=dis[u][i-1]+dis[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
{
int y=e[i].to;
if(vis[y]||y==fa) continue;
f[y][0]=u;
b[y]=i;
dis[y][0]=e[i].val;
dep[y]=dep[u]+1;
dfs(y,u);
}
}
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(dep[x]+(1<<i)<=dep[y]) y=f[y][i];
}
if(x==y) return y;
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(f[y][i]!=f[x][i])
{
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[y][0];
}
int solve(int x,int y)
{
int res=0;
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
for(int i=17;i>=0;i--)
{
if(dep[x]>=dep[y]+(1<<i)) res+=dis[x][i],x=f[x][i];
}
if(x==y)return res;
for(int i=17;i>=0;i--)
{
if(f[y][i]!=f[x][i])
{
res+=dis[x][i]+dis[y][i];
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return dis[x][0]+dis[y][0]+res;
}
void update(int now,int fa)
{
for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
{
if(e[i].to!=fa)
{
update(e[i].to,now);
sum[now]+=sum[e[i].to];
}
}
}
bool check(int x)
{
int cnt=0,dec=0;
memset(sum,0,sizeof sum);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(le[i].val>x)
{
cnt++;
sum[le[i].a]++;
sum[le[i].b]++;
sum[le[i].anc]-=2;
dec=max(dec,le[i].val-x);
}
}
update(1,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(sum[i]==cnt&&e[b[i]].val>=dec) return 1;
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int x,y,z;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
le[i]={x,y,lca(x,y),solve(x,y)};
r=max(r,le[i].val);
}
r++;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid))ans=r=mid;
else l=mid+1;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
树上差分加线段树合并
题解
#include<bits/stdc++.h>
#define lid m[id].ls
#define rid m[id].rs
const int maxn=1e5+10;
using namespace std;
int n,t,len,head[maxn],nxt[maxn<<1],to[maxn<<1],tot,cnt;
int rt[maxn],sum,s[maxn*80],ans[maxn];
struct node{int ls,rs,sum;}m[maxn*80];
int dep[maxn],f[maxn][21];
inline void add(int x,int y)
{
to[++cnt]=y;
nxt[cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
}
inline void addm(int x,int y)
{
add(x,y);
add(y,x);
}
inline void push(int id)
{
if(!lid){m[id].sum=m[rid].sum,s[id]=s[rid];return ;}
if(!rid){m[id].sum=m[lid].sum,s[id]=s[lid];return ;}
m[id].sum=max(m[lid].sum,m[rid].sum);
s[id]=m[lid].sum>=m[rid].sum?s[lid]:s[rid];
}
inline void merge(int &a,int b,int l,int r)
{
if(!b) return;
if(!a){ a=b;return ;}
if(l==r){ m[a].sum+=m[b].sum;return ;}
int mid=(l+r)>>1;
merge(m[a].ls,m[b].ls,l,mid),merge(m[a].rs,m[b].rs,mid+1,r);
push(a);
}
inline void insert(int &id,int l,int r,int x,int y)
{
if(!id)id=++tot;
if(l==r)
{
m[id].sum+=y;
s[id]=x;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)insert(lid,l,mid,x,y);
else insert(rid,mid+1,r,x,y);
push(id);
}
inline void dfs(int u,int fa)
{
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa)continue;
f[y][0]=u;
dep[y]=dep[u]+1;
dfs(y,u);
}
}
inline int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
for(int i=20;i>=0;i--)
if(dep[y]+(1<<i)<=dep[x])x=f[x][i];
if(x==y)return x;
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(f[y][i]!=f[x][i])
{
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
void as(int u,int fa)
{
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa)continue;
as(y,u);
merge(rt[u],rt[y],1,maxn-10);
}
ans[u]=s[rt[u]];
if(!m[rt[u]].sum) ans[u]=0;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&t);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
addm(x,y);
}
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=t;i++)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
d=lca(a,b);
insert(rt[a],1,maxn,c,1),insert(rt[b],1,maxn,c,1);
insert(rt[d],1,maxn,c,-1);
insert(rt[f[d][0]],1,maxn,c,-1);
}
as(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
