求数值的n次方根
二分法
float SqrtByBisection(float n) //用二分法
{
if(n<0) //小于0的按照你需要的处理
return n;
float mid,last;
float low,up;
low=0,up=n;
mid=(low+up)/2;
do
{
if(mid*mid>n)
up=mid;
else
low=mid;
last=mid;
mid=(up+low)/2;
}while(abs(mid-last) > eps);//精度控制
return mid;
}
二分法和系统函数性能差距几百倍。
牛顿迭代法
要求\(t^\frac {1} {n}\),设所求值为\(x\),可列方程\(x^n - t = 0\),令\(f(x) = x^n - t = 0\),现使用泰勒公式在一个初始的点\(x_0\)处展开\(f(x)\),有
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 0,
x = x_0 - \frac {f(x_0)} {f'(x_0)}
$$,
这样计算出的$x$必然存在误差(除非你$x_0$初始值给定的就直接是精确结果,这个概率很小),那我们将计算出的$x$再作为第二次迭代的初始值$x_1$带入上式中,得到$x_2$,以此类推,即有:
\]
x_1 = x_0 - \frac {f(x_0)} {f'(x_0)},
x_2 = x_1 - \frac {f(x_1)} {f'(x_1)},
x_3 = x_2 - \frac {f(x_2)} {f'(x_2)},
...
x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)}
\[以上整个过程是一个不断迭代的过程,$x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)}$即为牛顿迭代法的一个迭代关系式,这样的过程得到的$x_0,x_1,x_2,...,x_{n+1}$的序列也就是不断趋向所求结果的一组解,根据维基百科中的描述:
> 已经证明,如果是连续的,并且待求的零点是孤立的,那么在零点周围存在一个区域,只要初始值位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
因此,这样的过程是收敛的。
回到上面的式子,由$x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)}$,当求平方根的时候,该递推式变为$x_{n+1} = x_n - \frac {x^2_n - t} {2*x_n}$,化简,有$x_{n+1} = \frac {1} {2} * (x_n + \frac {t} {2*x_n})$,因此,写代码时就可以根据该式进行迭代求解。
例:
求根号2的值,假设初值$x_0 = 4$,
```
( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
….
```
代码如下:
```cpp
float SqrtByNewton(float x)
{
float val = x;//最终
float last;//保存上一个计算的值
do
{
last = val;
val =(val + x/val) / 2;
}while(abs(val-last) > eps);
return val;
}
```\]