第二章 液体的表面现象

第一节 液体的表面现象

（一）液体的表面张力

1.液体表面：

​ 互不侵入的液体与液体、液体与气体、液体与固体接触的界面。在界面处存在一个厚度约 1nm 的液体薄层——表面层。液体的表面现象就是由表面层决定的。

2.表面张力：

​ 我们把促使液膜表面积收缩到最小的力称为液体的表面张力。

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( 1 ) 从 力 的 角 度 ： α = f Δ l 单 位 是 N ∗ m − 1 (1)从力的角度：\alpha = \frac{f}{\Delta l}\quad单位是N*m^-1\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (1)从力的角度：α=Δlf​单位是N∗m−1
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( 2 ) 从 做 功 的 角 度 q u a d 外 力 ： F = f = 2 α Δ l 将 B C 边 向 右 移 动 Δ x ， 外 力 做 功 W = F Δ x = 2 α Δ l Δ x = α Δ S       α = W Δ S                                                       (2)从做功的角度\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\quad 外力：F=f=2 \alpha \Delta l\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ 将BC边向右移动\Delta x，外力做功\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ W=F \Delta x=2 \alpha \Delta l \Delta x=\alpha \Delta S \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \quad\ \quad\ \\ \alpha = \frac{W}{\Delta S}\quad \quad\ \quad \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ \quad\ (2)从做功的角度quad外力：F=f=2αΔl将BC边向右移动Δx，外力做功W=FΔx=2αΔlΔx=αΔS   α=ΔSW​                           
（注意：ABBA是一个金属框，是个长方体）
( 3 ) 从 能 量 的 角 度 看 ： 表 面 能 增 量 ： Δ E = W = α Δ S 则 α = Δ E Δ S (3)从能量的角度看：\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ 表面能增量：\Delta E=W=\alpha \Delta S\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ 则\alpha=\frac{\Delta E}{\Delta S} (3)从能量的角度看：表面能增量：ΔE=W=αΔS则α=ΔSΔE​
注意：增能量定义的引入类似于弹性势能的引入，在**（2）中**，外力对肥皂膜做的功转化成了一种势能——也就是液体表面能。（表面膜就类似一个弹簧）

3.表面张力系数与哪些因素有关

(1)与液体的性质有关；

(2)与温度有关，温度升高， 减小；

(3)与相邻物质的化学性质有关；

(4)与杂质有关。

表面活性物质:能使表面张力系数减小的物质。例如醇、

酸、醛、酮等有机物以及洗衣粉和肥皂等。

（其他条件不变，表面张力系数减小，表面张力减小，液体表面收缩的趋势就变小了，就越容易脱离，从而形成泡泡。）

（二）表面张力的微观本质

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主要有两个方面的原因，最终都是归于表面层分子间的距离问题（密度）：

1.由于表面层分子间作用力，使得与液面相切的方向，分子间距离较内部要大一些。

2.表面层的分子会由于分子热运动扩散到气相，从而进一步导致表面层分子间距离变大。

第二节 弯曲液面的附加压强

一.引入：液体的表面张力会使液体表面膜收缩，那么如果液体是平面，内外压强相等；如果液体是弯曲的，那么根据力的分解原理，会有一个指向圆心的分力，从而导致内外压强不一样。

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根 据 表 面 张 力 方 程 : f = α Δ l d f = α d l d f 1 = α d l s i n ϕ ( 只 有 f 1 对 内 外 压 强 的 产 生 有 贡 献 , f 2 没 有 ) 那 么 ， 表 面 张 力 的 合 力 ： f = ∫ 0 l d f 1 = ∫ 0 l α d l s i n ϕ = 2 π r α s i n ϕ = 2 π r α r R 那 么 ， 附 加 压 强 为 ： P S = f π r 2 = 2 π α r 2 R π r 2 = 2 α R 根据表面张力方程:\\ f=\alpha \Delta l\\ df=\alpha dl\\ df_1=\alpha dlsin\phi (只有f_1对内外压强的产生有贡献,f_2没有)\\ 那么，表面张力的合力：\\ f=\int_{0}^{l}df_1=\int_{0}^{l}\alpha dl sin\phi=2 \pi r \alpha sin \phi=2 \pi r \alpha \frac{r}{R}\\ 那么，附加压强为：\\ P_S=\frac{f}{\pi r^2}=\frac{2\pi \alpha \frac{r^2}{R}}{\pi r^2}=\frac{2\alpha}{R} 根据表面张力方程:f=αΔldf=αdldf1​=αdlsinϕ(只有f1​对内外压强的产生有贡献,f2​没有)那么，表面张力的合力：f=∫0l​df1​=∫0l​αdlsinϕ=2πrαsinϕ=2πrαRr​那么，附加压强为：PS​=πr2f​=πr22παRr2​​=R2α​
二.引申：
( 1 ) 平 面 液 面 下 一 点 的 压 强 : P = P 0 ( 2 ) 球 形 凸 液 泡 : P = P 0 + 2 α R ( 3 ) 球 形 凹 液 泡 : P = P 0 − 2 α R ( 4 ) 球 形 液 ( 双 液 面 ) 泡 : P = P 0 + 4 α R （ 处 于 气 体 中 ） P = ρ 液 体 g h + P 0 + 2 α R （ 处 于 液 体 中 ） (1)平面液面下一点的压强:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ P=P_0\\ (2)球形凸液泡:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ P=P_0+\frac{2 \alpha}{R}\\ (3)球形凹液泡:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ P=P_0-\frac{2\alpha}{R}\\ (4)球形液(双液面)泡:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ P=P_0+\frac{4\alpha}{R}（处于气体中）\\ P=\rho_{液体}gh+P_0+\frac{2\alpha}{R}（处于液体中） (1)平面液面下一点的压强:P=P0​(2)球形凸液泡:P=P0​+R2α​(3)球形凹液泡:P=P0​−R2α​(4)球形液(双液面)泡:P=P0​+R4α​（处于气体中）P=ρ液体​gh+P0​+R2α​（处于液体中）

三.毛细现象

​ 1.湿润与不湿润：

​ （1）湿润：液体黏附在固体上。

​ （2）不湿润：液体不黏附在固体上。

​ 2.接触角：以液体表面与固体表面接触的点为顶点的角。

（一般地，当0<=接触角<=90度的时候，表现为湿润；当90<接触角<=180度时，表现为不湿润）

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​ 3.微观解释：

​ （1）内聚力：液体分子间的作用力。

​ （2）附着力：液体分子和固体分子间的作用力。

​ （3）当内聚力大于附着力时，表现为黏附；反之，表现为不黏附。

​ 4.毛细现象：由于黏附现象的存在，导致拥有黏附现象的液体会在管壁周围形成附加压强，从而导致玻璃管内部的液体高度与左右的不同，这种现象称为毛细现象。

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高度差公式推导：
设 大 气 压 强 为 P 0 ， 在 凹 液 面 上 : P E = P 0 根 据 附 加 压 强 公 式 : P E − P C = 2 α R 又 由 于 : P B − P C = ρ g h 由 于 B 、 C 等 高 度 ， 则 P B = P A P D = P 0 所 以 : P B = P A = P D = P 0 , 即 : P E = P B 又 有 ： c o s θ = r R 则 : h = 2 α c o s θ ρ g r 设大气压强为P_0，在凹液面上:\\ P_E=P_0\\ 根据附加压强公式:\\ P_E-P_C=\frac{2 \alpha}{R}\\ 又由于:\\ P_B-P_C=\rho g h \\ 由于B、C等高度，则\\ P_B=P_A\\ P_D=P_0\\ 所以:P_B=P_A=P_D=P_0,即:P_E=P_B\\ 又有：cos \theta =\frac{r}{R}\\ 则:h=\frac{2 \alpha cos \theta}{\rho g r} 设大气压强为P0​，在凹液面上:PE​=P0​根据附加压强公式:PE​−PC​=R2α​又由于:PB​−PC​=ρgh由于B、C等高度，则PB​=PA​PD​=P0​所以:PB​=PA​=PD​=P0​,即:PE​=PB​又有：cosθ=Rr​则:h=ρgr2αcosθ​

补充——圆柱形液面

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在 半 径 为 r 1 的 玻 璃 管 中 插 入 一 根 半 径 为 r 2 的 玻 棒 ， 再 将 二 者 插 入 水 中 。 若 水 的 表 面 张 力 系 数 为 α ， 密 度 ρ ， 水 与 玻 璃 的 接 触 角 为 θ ， 求 玻 管 和 玻 棒 之 间 水 面 上 升 的 高 度 ( 设 玻 管 与 玻 棒 半 径 很 接 近 ) h = 2 α ρ g 2 r c o s θ = α ρ g r c o s θ ( r 为 玻 管 和 玻 棒 之 间 的 距 离 的 一 半 ) 在半径为r_1的玻璃管中插入一根半径为r_2的玻棒，再将二者插入水中。若水的表面张力系数为 \alpha\\ ，密度\rho ，水与玻璃的接触角为\theta ，求玻管和玻棒之间水面上升的高度(设玻管与玻棒半径很接近)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ h=\frac{2\alpha}{\rho g2r}cos\theta=\frac{\alpha}{\rho gr}cos\theta(r为玻管和玻棒之间的距离的一半) 在半径为r1​的玻璃管中插入一根半径为r2​的玻棒，再将二者插入水中。若水的表面张力系数为α，密度ρ，水与玻璃的接触角为θ，求玻管和玻棒之间水面上升的高度(设玻管与玻棒半径很接近)h=ρg2r2α​cosθ=ρgrα​cosθ(r为玻管和玻棒之间的距离的一半)
四.气体栓塞现象
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解释：第一个气泡的右侧会产生一个向右的气体压强，而第二个气泡的左侧会产生一个向左的气体压强，如果左、右压强相同，则中间的液体会停止不前，从而导致栓塞现象。
由 于 这 种 相 互 抵 消 的 压 强 的 存 在 ， 假 设 抵 消 后 的 压 强 大 小 不 为 0 ， 那 么 一 个 抵 消 后 的 压 强 大 小 为 : P 0 = 2 α R − 2 α r = 2 α ( 1 R − 1 r ) 如 果 当 有 n 哥 这 样 的 抵 消 压 强 累 积 起 来 的 时 候 ， P 1 − P = 2 α n ( 1 R − 1 r ) 即 : 此 时 ， 液 体 刚 好 可 以 推 动 。 由于这种相互抵消的压强的存在，假设抵消后的压强大小不为0，那么\\ 一个抵消后的压强大小为:P_0=\frac{2 \alpha}{R}-\frac{2 \alpha}{r}=2\alpha(\frac{1}{R}-\frac{1}{r})\\ 如果当有n哥这样的抵消压强累积起来的时候，\\ P^1-P=2\alpha n(\frac{1}{R}-\frac{1}{r})\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ 即:此时，液体刚好可以推动。 由于这种相互抵消的压强的存在，假设抵消后的压强大小不为0，那么一个抵消后的压强大小为:P0​=R2α​−r2α​=2α(R1​−r1​)如果当有n哥这样的抵消压强累积起来的时候，P1−P=2αn(R1​−r1​)即:此时，液体刚好可以推动。