第十章 重积分（同济版）

第十章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

一.二重积分的概念

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引入：假设我们现在有一个曲顶柱体V，他在xOy面上的投影为区域D，根据体积公式:
$$V=Sh$$
我们可以依然可以根据“取微分——求极限”的思想，也就是说，可以将V分为无数个小柱体，也就是说可以先把D区域分为无数个圆（圆好计算）或者其他的几何图形，然后由于“长、宽”与高有一个已知的映射关系——z=f(x,y)，但是我们发现其与普通的积分有一个差别——在对S进行微分的时候，需要同时对x，y进行微分，那么
$$V=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$
但是我们需要注意，由于D的分法可能不同，所以我们需要取得一个共同的标准去衡量**“S被分为无限多份”是否等于“n—>无穷”**。

• 举个例子，如果你的一个"dS"分得很大，而其他有无数个很小的"dS"，那么显然现在的S集中在了大的dS上面，换句话说，最后的结果与分法有关系，这显然是研究微分过程中所需要避免的。

那么，我们就引入一个量:
$$\begin{gathered} \lambda (n个小区域中直径的最大值) \\ 同时，让其趋近于零——\lambda \to 0 \end{gathered}$$

二.方法总结

Step 1:分割

Step 2:近似

Step 3:求和

Step 4:取极限

eg：我们以通过面密度求取已知面积的均匀物体的质量：

1.分割：

使用任意曲线网将D分为n个区域：
$${\sigma }_1、{\sigma }_2、{\sigma }_3、......{\sigma }_n$$

2.近似:

在每一个小区域中任取一点（类似于一重积分中，在x_i、x_i+1中任取一点）
$$({\xi }_k,{\eta }_k)$$
那么第k个小块的质量为：
$$\Delta M_k=\rho ({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k(k=1,2,3......n)$$

3.求和：

$$M=\sum _{k=1}^n\Delta M_k\approx \sum _{k=1}^n\rho ({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$

4.取极限：

令：
$$\lambda =ma{x}_{1<=k<=n}\{\Delta {\sigma }_k\}$$
则：
$$M=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\rho ({\xi }_l,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$

三.一些概念

被积函数：
$$f(x,y)$$
被积表达式:
$$f(x,y)\Delta \sigma$$
面积元素：
$$d\sigma$$
积分变量:
$$x,y$$
积分区域:
$$D$$
积分和:
$$\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$
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四.二重积分存在定理以及性质

1.二重积分：

如果f（x，y）在有界区域D上连续，则f（x，y）在有界闭区域D上可积。

2.性质

（1）被积函数可加性：

（2）积分区域可加性：

（3）平顶柱体：

（4）可比性：

（5）最值区域性：

（6）中值定理：