第一章 行列式

第一章 行列式

文章目录

• 第一章 行列式
• • 第一节 二、三阶行列式
  • 第二节 n阶行列式
  • • 一.排列
    • • 1.逆序
      • 2.对换
    • 二.n阶行列式（行列式计算法<1>）
  • 第三节 行列式的性质(行列式计算法——2)
  • 第四节 行列式展开
  • • 一.子式 余子式 代数余子式
    • 二.定理（行列式计算法——3）
  • 第五节 克莱姆法则

第一节 二、三阶行列式

对角线法则：左上到右下，三个为正；右上到左下，三个为负。

第二节 n阶行列式

一.排列

1.逆序

​ 对于一个n级排列
$$i_1,i_2,...,i_n$$
若一个较大的数排列在一个较小的数的面前，那么我们称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总数我称作
$$逆序数\tau (\tau 为奇数的时候为奇排列，否则为偶排列)$$
记作：
$$\tau (i_1{i}_2...i_n)$$

2.对换

​ 对于一个排列中的两个数i，j，如果进行一次交换，那么我们称作为对换，相邻数字对换为邻换。统一记作
$$(i,j)$$
（1）一次排列对换改变排列的奇偶性

（2）奇排列变换为自然排列的次数为奇数，偶排列变换为自然排列的次数为偶数

（3）n>=2时，全体n级排列中，奇排列与偶排列的数目均为n的阶乘除以2

二.n阶行列式（行列式计算法<1>）

对于一个行列式：
$$D=\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& ...a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& ...a_{3n}\\ ...& & & \\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& a_{nn}\end{array}\right\}$$
则
$$D=\sum _{i_1{i}_2...i_n}(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2...i_n)}{a}_{1i_1}{a}_{2i_2}...a_{n{i}_n}$$
上（下）三角行列式：主（副）对角线下（上方）元素全为0的行列式。

第三节 行列式的性质(行列式计算法——2)

1. 转置不变性：转置行列式与原行列式相等

2. 交换换号性：交换行列式的行（列）符号改变

   推论：如果有两行（列）完全相同，则行列式为0

3. 常值遍历性：用一个数字乘行列式，就相当于用这个数去乘以**任意一列（行）**的所有元素

   推论：

   • 有任意一列行全为0，则行列式为0
   • 任意一列行对应成比例，行列式为0

4. 元素可分性：如果把任意一行列的元素可分为两项之和，那么可以表示为对应两个行列式之和

5. 线性变换不变性：把行列式任意两行列i,j进行运算：
   $$a_i=w{a}_j+b$$
   行列式值不变。

第四节 行列式展开

一.子式 余子式 代数余子式

1. 子式：对于n阶行列式，任意取k行k列，行列交叉处所形成的k阶行列式就叫做子式。

2. 余子式：行列式去掉余子式后剩下的部分行列式就叫做余子式。记作：
   $$M_{ij}$$

3. 代数余子式：
   $$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

二.定理（行列式计算法——3）

​ 行列式D等于任意一列行的所有元素与它们代数余子式乘积之和。

取定一行（列）
$$D=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}或D=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$

第五节 克莱姆法则

克莱姆法则：设含有n个未知量的n个方程的方程组的线性方程组：
$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...a_{2n}{x}_n=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+...a_{3n}{x}_n=b_3\\ ......\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$
我们可以把未知量部分化为行列式形式：
$$D=\Vert \begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}...& a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}...& a_{3n}\\ ......& & \\ a_{n1}& a_{n2}...& a_{nn}\end{array}\Vert$$
如果我们把剩下的已知量部分替换每一列中去，就可以得到n个行列式：
$$D_1,D_2,D_3,...,D_n$$
那么:
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 30: …}{D} .\\ a_{n1}&̲a_{n2}...&a_{nn…
如果我们把剩下的已知量部分替换每一列中去，就可以得到n个行列式：
$$D_1,D_2,D_3,...,D_n$$
那么:
$$x_n=\frac{D_n}{D}$$