概率论与数理统计B 重点/笔记梳理 第二章

第二章 随机变量与分布

文章目录

• 第二章 随机变量与分布
• • 第一节 随机变量
  • 第二节 离散型随机变量
  • 第三节 连续性随机变量
  • 第四节 随机变量函数的分布(这一节强烈推荐自己多做书上例题)

第一节 随机变量

1.随机变量的产生

2.分布函数的定义以及二维分布函数的几何性质

分布函数就是从负无穷慢慢地推向正无穷，看这个区间涵盖的概率是多少？

3.分布函数的性质：

• 单调不减
• 规范性：0-1
• 负无穷就是0，正无穷就是1
• 右连续函数

第二节 离散型随机变量

1.单点分布：随机变量一直都是一个值
$$P(X=c)=1$$
2.两点分布：0或1（伯努利实验）
$$\begin{gathered} P(X=0)=1-p \\ P(X=1)=p \end{gathered}$$

3.二项分布：
$$\begin{gathered} B(n,p) \\ P(X=k)=b_k=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k} \end{gathered}$$
tips：我们可以使用如下公式来判断二项分布概率值得递增、递减性。
$$\frac{b_k}{b_{k-1}}$$
4.泊松分布：
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$
泊松定理：说明了一个二项分布当:
$$n\to \infty$$
时，X=k的概率值可以化为泊松分布的表达式，因此认为泊松分布是二项分布的高阶表达。

tips：书上P51有讲到，当n>10，p<0.1时，我们才可以使用这一近似定理。

5.几何分布：
$$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$$
几何分布表达式怎么几比较容易？这样想，几何表达式是这样一个场景下产生的：

对于n次实验，我做到k次成功我才不做了，那么说明前k-1次都是失败的（1-p），最后一次是p。

第三节 连续性随机变量

1.如何求得连续性随机变量的分布函数——从负无穷到x对概率密度函数进行积分：
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$
2.密度函数f(x)的性质：

• 非负性；

• 从负无穷到正无穷积分为1；

• X处于两点之间概率值等于两点之间积分：
  $$F(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(t)dt$$

• f(x)在x处连续，则F’(x)=f(x)；

3.均匀分布：
$$f(x)=\{\begin{array}{cc}& \frac{1}{b-a},a\le x\le b\\ & 0,其他\end{array}$$
4.指数分布：
$$f(x)=\{\begin{array}{cc}& \lambda e^{-\lambda x},x\ge 0\\ & 0,x<0\end{array}$$
5.*伽马（不知道念什么）分布——用于简便计算
$$\begin{gathered} F(\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx,x>0 \\ f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{F(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x} \end{gathered}$$
6.正态分布(高斯分布)：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
关于正态分布的性质，简单阐述一下，具体的自己去P63看看：

• 对称性

• 渐进性

• $$(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )$$

  向上凸，其他地方向下凹。

• sigma越大则曲线越扁平，否则越高瘦。

• 标准化：
  $$\frac{x-\mu }{\sigma }\to N(0,1)$$

第四节 随机变量函数的分布(这一节强烈推荐自己多做书上例题)

1.分布函数法：

• 先求得随机变量为X的概率密度函数f(x)，然后求函数Y=g(x)的概率密度函数；

• 但是就得先求Y的分布函数:
  $$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)$$

• 求得了分布函数后，求导就可以得到想要的密度函数。

2.公式法——快，但是谨慎使用

• 如果y=g(x)严格单调

• g(x)反函数有连续的导数

• 则Y=g(X)也为连续性随机变量：
  $$\begin{gathered} f_Y(y)=\{\begin{array}{cc}& f_X[g^{-1}(y)]|[g^{-1}(y){]}^{\prime }|,\alpha \le x\le \beta \\ & 0,其他\end{array} \\ \alpha =min(g(-\infty ),g(+\infty )) \\ \beta =max(g(-\infty ),g(+\infty )) \end{gathered}$$

)]'|,\alpha\le x\le \beta\
& 0,其他
\end{matrix}
\right.
\
\alpha=min(g(-\infty),g(+\infty))\
\beta=max(g(-\infty),g(+\infty))
$$