概率论与数理统计B 重点/笔记梳理 第三章

第三章 多维随机变量及其分布

文章目录

• 第三章 多维随机变量及其分布
• • 第一节 二维随机变量及其联合分布
  • 第二节 边缘分布
  • 第三节 相互独立的随机变量及条件分布
  • • 一.独立性
    • 二.条件概率
    • 三.随机变量函数的分布

本章重点研究二维随机变量的一些性质。

第一节 二维随机变量及其联合分布

1.对于二维随机变量的联合分布函数理解——就是概率密度函数在xOy平面上从第三象限的无穷处向(x,y)趋近求积分。

2.二维离散型随机变量——直接画表然后求每一列、排的概率值就可以了。

3.二维连续性随机变量：
$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv$$
至于相关性质可以类别一维随机变量的分布函数性质。

4.二维均匀分布：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{S_D},(x,y)\in D\\ 0,其他\end{array}$$
5.*****二维正态分布(高斯核)：公式比较复杂，建议看书上P81页

第二节 边缘分布

1.离散型和连续性通式：
$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty ) \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y) \\ (F_X(x)、F_Y(y)就是一维的随机变量了) \\ \therefore (一维分布函数与密度函数的关系公式) \\ F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt \end{gathered}$$
2.对于离散型的变形，可以直接求每一列、每一排的和就可以了，这些和就是所求的离散型二维随机变量的边缘分布值。

因为对于离散型而言，将离散型变量推向无穷就是对于每一个X，将其所有的Y（其他特征值）加起来，便可以得到边缘分布。

3.对于连续型的变形：
$$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)dudv={\int }_{-\infty }^x{f}_X(t)dt$$
故：
$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$$
同理可以得到：
$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$$
可以这样记忆：对于连续性随机变量来说，无穷就是将对应的变量进行从负无穷到正无穷的积分。

第三节 相互独立的随机变量及条件分布

一.独立性

证明两个随机变量相互独立方法（通式）与之前的类似（充要条件）：
$$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$$
推论：

• 对于离散型随机变量：
  $$p_{ij}=p_{i.}\times p_{.j}$$

• 对于连续性随机变量：
  $$f(x,y)=f_X(x)\times f_Y(y)$$

二.条件概率

1.离散型：
$$P(X=x|Y=y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}$$
2.
$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$
为在Y=y条件下X的条件概率密度，类似地，称：
$$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(xmy)}{f_X(x)}$$
为在X=x条件下，Y的条件概率密度。

三.随机变量函数的分布

1.离散型——枚举法

2.连续型——卷积公式法

已知二维随机变量的联合概率密度函数:
$$f(x,y)$$
则：Z=X+Y的概率密度为：
$$\begin{gathered} f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx \\ {f}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(y,z-y)dy \end{gathered}$$
假如X、Y相互独立，那么：
$$\begin{gathered} f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx \\ {f}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy \end{gathered}$$
这边是卷积公式。

tips：深度学习上的卷积公式跟概率论上的还是有点关系哦。

)dx\
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy
$$
这边是卷积公式。

tips：深度学习上的卷积公式跟概率论上的还是有点关系哦。