概率论与数理统计B 重点/笔记梳理 第六章

第六章 抽样与抽样分布

文章目录

• 第六章 抽样与抽样分布
• • 第一节 数理统计的基本概念
  • 第二节 抽样分布定理

第一节 数理统计的基本概念

1.明确：概率论是总体推到局部，而数理统计是局部推到总体。

2.研究对象的全体组成的集合就是总体，组成总体的每一个元素就是个体。

3.以一定方式从总体中抽取的若干个个体。

4.上面的一定方式就是抽样方法，常见的的抽样方法就是简单随机抽样，即：我抽取的样本之间相互独立且同分布。

5.样本分布函数：n个样本值排序后，不超过x的个数再去除以n。

6.格列文科定理：当n趋于正无穷，样本分布函数Fn(x)是无限趋近于X的分布函数的；

7.数字特征：假设一个函数——也是随机变量，只跟X的一个样本：x1、x2、、、、xn有关系，并且这个函数是定义在样本空间上的一个连续函数，那么这个函数可以作为一个统计量的或样本的数字特征。

8.常见的数字特征：

• 样本均值；
• 样本方差；
• 样本标准差；
• 样本k阶原点矩；
• 样本k阶中心矩；

tips：计算样本方差的时候有一个简便公式：
$$\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=\sum x^2-{\overline{x}}^2$$

第二节 抽样分布定理

1.对于一个标准正态分布，如果说对于给定的alpha:
$$\begin{gathered} P(U>u_{\alpha })={\int }_{u_{\alpha }}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\alpha \\ aka:P(U\le u_{\alpha })=1-\alpha \end{gathered}$$
那么alpha为标准正态分布的上alpha分位点（上侧临界值）。

tips：如alpha满足:
$$P(|U|>u_{\frac{\alpha }{2}})=\alpha$$
那么这个u就是标准正态分布的双侧分位点。

2.卡方分布

假设一组随机变量x1,…,xn相互独立且同分布于N(0,1)，那么称统计量：
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2(n为自由度)$$
3.t分布

假设随机变量x服从标准正态分布，y服从卡方分布，且x与y独立，那么随机变量：
$$t=\frac{x}{\sqrt{\frac{y}{n}}}$$
为服从自由度为n的t分布。

特点：

• t分布的图像跟正态分布一样是关于y轴对称的哦；

• 对于给定的alpha，称满足条件:
  $$P(t(n)>t_{\alpha }(n))=\alpha$$
  的围殴t分布的上alpha分位点。

• 同样的如果是：
  $$P(|t(n)|>t_{\frac{\alpha }{2}}(n))=\alpha$$
  那么这个t2/alpha(n)就是双侧分位点。

4.如果u服从自由度为n1的卡方分布，v服从自由度为n2的卡方分布，那么我们称呼随机变量：
$$F=\frac{u/n_1}{v/n_2}$$
为服从自由度为n1/n2的F分布，记作:
$$F-F(n_1,n_2)$$
同样的，类比前面分布的上alpha分位点，F分布的分位数:

对于给定的alpha，0<alpha<1，称满足条件:
$$P\{F>F_{\alpha (n_1,n_2)}\}=\alpha$$
的点
$$F_{\alpha }(n_1,n_2)为F分布的上alpha分位点。$$
重点：F分布的分位点满足:
$$F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$$
5.（抽样分布定理）

第一个定理：

假设x1、x2、、、、xn是从正态分布母体
$$N(\mu ,{\sigma }^2)$$
中抽取的一个简单随机样本，则对样本均值
$$\overline{x}$$
和样本方差
$$s^2$$
有：
$$\begin{gathered} \overline{x}-N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}) \\ \frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}-{\chi }^2(n-1) \\ \overline{x}与s^2相互独立 \end{gathered}$$

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第二个定理：

假设x1-xn是从正态分布母体
$$N(\mu ,{\sigma }^2)$$
中抽取的一个简单随机样本，则对样本均值
$$\overline{x}$$
和样本标准差s，有：
$$\frac{\overline{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}-t(n-1)$$

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第三个定理：假设x1-xn是来自于
$$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$$
y1-yn是来自于
$$N({\mu }_2,{\sigma }^2)$$
的两个独立样本，那么如果记：
$$s_{\omega }^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$
统计量
$$\begin{gathered} \frac{(\overline{x}-\overline{y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{s_{\omega \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}}-t(n_1+n-2-2) \\ \frac{s_1^2}{s_2^2}-F(n_1-1,n_2-1) \end{gathered}$$

x}-\overline{y})-(\mu_1-\mu_2)}{s_{\omega\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}}-t(n_1+n-2-2)\
\frac{s_1^2}{s_22}-F(n_1-1,n_2-1)
$$