概率论与数理统计B 重点/笔记梳理 第七章

第七章 参数估计

文章目录

• 第七章 参数估计
• • 第一节 点估计
  • • 1.点估计
    • 2.极大似然估计
    • 3.稳健估计（不考，懒得做笔记了QAQ）
  • 第二节 估计量的评判标准
  • • 1.无偏性
    • 2.有效性
    • 3.一致性（了解一下，=-=）
  • 第三节 区间估计
  • • 1.总体均值的区间估计
    • • (1)总体：正态分布；方差已知
      • (2)分布：正态分布；方差未知
      • (3)一般总体，大样本
    • 2.总体方差的区间估计
  • 总结
  • 总结

前面第5、6章我们了解到了数理统计如何与概率论联系起来（第五章）以及一些基本定理、抽样方法（第六章）。数理统计的话，其就是充分利用已经有的 数据或者是 数字特征来进行对于整体 数据或者 数字特征的估计。

其中主要有两类问题：

1. 总体分布函数已经知道，若干参数未知，eg：我知道是正态分布，但是未知参数u和s我不清楚该怎么办；
2. 总体分布函数未知，但是若干数据特征我知道，eg：我知道其中某些数字特征，比如说：数学期望，方差；

第一节 点估计

第五章的大数定律告诉我们：当样本足够大的时候，我们可以用样本来估计总体，点估计就是一种已知样本分估计的参数的过程。

1.点估计

点估计：我们通常可以按照矩的阶数从1到k列出k个样本等于总体矩的方程，从而求出带求的参数，aka：数字特征法。

我们现在有一个分布函数:
$$F(x;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n)$$
假设
$$(x_1,x_2,...,x_n)$$
是取自X的样本，那么如果总体K阶原点矩E(Xk)存在，则总体X的j阶原点矩为
$${\alpha }_i({\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n)=E(X^j),1\le j\le k$$
样本(x1,x2,…,xn)的j阶原点矩为：
$$A_j=\frac{1}{n}\sum x_i^j$$
令总体矩阵等于对应的样本矩，可以得到k个方程（多少个参数就有多少个方程）：
$${\alpha }_j({\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_k)=A_j(1\le j\le k)$$
也就是说，一般来说总体的分布特征会告诉你，然后求出对应的原点矩（一阶矩就是期望）后，你计算一下对应样本矩。

2.极大似然估计

极大似然估计：假设总体的密度函数为
$$f(x;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_i)$$
其中theta均为未知参数，x1、x2、、、xn为来自总体X的样本，他们的联合密度函数为:
$$L(x_1,x_2,...,x_n;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_l)=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n)$$
上面的密度函数为所有参数的似然函数。

如果说我可以找到一组参数组合使得似然函数最大，那么说明：这组参数最能够让这组样本代表这个总体。

计算技巧：

对于
$$L(x_1,x_2,...,x_n;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_l)=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n)$$
两边同时取得对数，那么可以得到
$$\ln L(x_1,x_2,...,x_n;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_l)=\sum _{i=1}^n\ln f(x_i;{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n)$$
随后分别对每一个参数进行求偏导并令偏导数=0，最后就可以得到一个参数组合，该参数组合便是所求的极大似然估计量。

3.稳健估计（不考，懒得做笔记了QAQ）

第二节 估计量的评判标准

1.无偏性

假设
$$\theta$$
是总体参数，那么用统计量
$${\theta }_i^{\prime }={\theta }_i^{\prime }(x_1,x_2,...,x_n)({\theta }_i^{\prime }是一个关于样本值的函数)$$
来估计theta，若
$${\theta }^{\prime }$$
的数学期望
$$E({\theta }^{\prime })=\theta$$
那么我们称呼：
$${\theta }^{\prime }$$
为theta的无偏估计量。

---

定理1：对于总体有
$$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$$
从总体X中抽取一定样本x1、x2、、xn，那么：

• 均值是期望无偏估计；
• 样本方差是总体方差的无偏估计；

个人理解：总体参数之所以这样称呼，是因为在前面说明数字特征的时候提到过，总体的期望和方差就是两个位置参数，那么如果是我用相关的统计量去估计未知参数，如果说统计量的数学期望是等于位置参数的，那么就是无偏估计。目前感觉没啥感性认知。

2.有效性

对于极大似然估计和矩估计得到的多组无偏估计参数组合，谁的方差小，说的有效性更大。

3.一致性（了解一下，=-=）

就是说当用来估计的参数量足够大的时候，统计量参数估计越能趋于总体的未知参数。

这个好理解——这就是机器学习中的表达能力的说法，参数量越大，模型的表达能力越强。

第三节 区间估计

点估计是一下子给一个准确的估计值，但是一般来说更加科学、合理、准确的方法是给一个预测区间，这就是区间估计。

1.总体均值的区间估计

已知总体X分布依赖于位置参数theta，由给定的样本容量为n的样本可以得到两个统计量
$${\theta }_1,{\theta }_2$$
对于给定的
$$\alpha$$
如果这两个统计量满足:
$$P({\theta }_1^{\prime }<\theta <{\theta }_2^{\prime })=1-\alpha$$
那么我们称呼区间:
$$[{\theta }_1^{\prime },{\theta }_2^{\prime }]$$
为theta的置信水平为1-alpha的置信区间，两个统计量分别为置信下限与上限，1-alpha为置信概率，alpha为显著水平。

(1)总体：正态分布；方差已知

问：已知总体X服从
$$N(\mu ,{\sigma }^2)$$
，其中
$${\sigma }^2$$

已知，从X中抽取样本x1-xn，由此样本球的u的置信区间（只有u不知道）。

答：我们根据之前的抽样分布定理得到：
$$\mu 服从分布：N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$
于是 ：
$$U=\frac{\overline{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}-N(0,1)$$
获取双侧分位点：
$$P(|U|<{\mu }_{\frac{\alpha }{2}})=1-\alpha$$
从而可以化简得到一个
$$\mu$$
的不等式子，这就是其置信区间:
$$(\overline{x}-u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$$

(2)分布：正态分布；方差未知

这种情况的话，很明显就不能构造标准正态分布找分位点了，只能另找法子——由第六章第二个抽样分布定理我们可以得到:
$$t=\frac{\overline{x}-\mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}}-t(n-1)$$
**这个不用到总体方差，而用到样本方差的式子。**后面步骤、方法同上——构造t分布、找双侧分位点。最后得到：
$$(\overline{x}-t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{x}+t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}})$$

(3)一般总体，大样本

根据中心极限定理，只要样本足够大：
$$U=\frac{x-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$
都是趋近于标准正态分布的。那么u的区间估计为:
$$(\overline{x}-u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$$

2.总体方差的区间估计

已知总体服从一个正态分布：
$$N(\mu ,{\sigma }^2)$$
并且已知样本x1-xn，现在要对方差做出估计。

同样的使用第六章的抽样分布定理：
$$\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}={\chi }^2(n-1)$$
给定显著水平alpha。记两个临界值k1、k2:
$$k_1={\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1),k_2={\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)$$
根据卡方分布的上分位点规律知：
$$1-\alpha =P(k_1<\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}<k_2)=P(\frac{(n-1)s^2}{k_1}<{\sigma }^2<\frac{(n-1)s^2}{k_2})$$
故可以得到方差置信区间:
$$(\frac{(n-1)s^2}{k_1},\frac{(n-1)s^2}{k_2})$$

总结

这一章就是已经知道了大概的分布函数，要估计未知参数，那么其实就是一个机器学习的范畴，第一节就是training，第二节就是一个valid/test过程。第三节主要是另一种更为科学的估计方法——区间估计。

)s^{2}{k_1}<\sigma}2<\frac{(n-1)s^2}{k_2})
$$故可以得到方差置信区间:$$
(\frac{(n-1)s^{2}{k_1},\frac{(n-1)s}2}{k_2})
$$

总结

这一章就是已经知道了大概的分布函数，要估计未知参数，那么其实就是一个机器学习的范畴，第一节就是training，第二节就是一个valid/test过程。第三节主要是另一种更为科学的估计方法——区间估计。