单源最短路径-Dijkstra算法

1.算法标签

贪心

2.算法描述

具体的算法描述网上有好多，我觉得莫过于直接wiki，只说明一些我之前比较迷惑的。

对于Dijkstra算法，最重要的是维护以下几个数据结构：

• 顶点集合S : 表示已经找出从源点出发最短路径的顶点集合
• 顶点集合Q: S在所有顶点集合中的补集，即V-S
• 距离数组dist ： 在程序执行过程中，如果序号为n的顶点已经在S中，那么dist[n]表示从源点start到顶点n的最短距离，否则dist[n]的值将在程序执行过程中不断收敛。
• 路径数组previous: 当程序执行完成之后，previous[n]表示最短路径中顶点n的前一个顶点

程序执行时，每轮循环中，对Q中每个顶点u，计算源点经由S中顶点直接到达u的路径长度最小值，存入dist数组中，每轮循环只往S中加入一个顶点，这个顶点是Q中顶点dist值最小的那个，因此这是个贪心策略，为什么贪心策略是正确的？

• Dijskstra默认每条边都是正权值
• 因为S中的顶点的最短路径已经找到，所以加入的这个点肯定找不到一条更短的到源点的路径，否则说明S中的路径不是最短路径。

3.实现说明

实现时，Dijkstra算法可能会有多种改进，比如图用邻接表的形式存储，可以在稀疏图中获得更快的时间，然后计算dist最小值可以用最小堆来实现，这样就不必每次线性查找

4.一个例子（图片来源）

5.代码实现

//aouthor:areslipan
vector<int> Dijkstra(vector<vector<int> > &g, int vNum,int start)
{
    vector<int>path(vNum,-1);//-1表示路径未找到
    vector<int>dist(vNum,MYINF);
    dist[start]=0;
    set<int>source;//一旦一个点距离源点start最短路径被找到，那么该点就被加入集合source中
    set<int>dest; //source 的补集
    for(int i=0;i<vNum;++i)dest.insert(i);

    
    set<int>::iterator iter_s;
    set<int>::iterator iter_d;

    int cur=start;
    
    while(!dest.empty())
    {
        int curMin=MYINF;
        
        //选出dest中dist最小的那个归入source中
        for(iter_d=dest.begin();iter_d!=dest.end();++iter_d)
        {
            if(curMin>dist[*iter_d])
            {
                curMin=dist[*iter_d];cur=*iter_d;
            }
        }

        source.insert(cur);
        dest.erase(cur);
        
        //加入一个新顶点之后开始更新dest中顶点的dist值，此处可以用最小堆优化
        for(iter_s=source.begin();iter_s!=source.end();++iter_s)
        {
            for(iter_d=dest.begin();iter_d!=dest.end();++iter_d)
            {
                if((g[*iter_s][*iter_d]+dist[*iter_s])<dist[*iter_d])
                {
                    dist[*iter_d]=g[*iter_s][*iter_d]+dist[*iter_s];
                    path[*iter_d]=*iter_s;
                }
            }    
        }
    }

    return path;
}

上面这个程序算法时间复杂度较高，在优化实现的时候算法复杂度可以降低到O(NlgN),分析见wiki,这个程序只是作为说明的用途。

6.完整的程序文件

图算法框架

7.参考

参考1：http://www.wutianqi.com/?p=1890

参考2： wiki

参考3：文中链接