图

一、基本概念

1、连通图：任意两个结点都连通（不需要直接相连，只要有路径即可）

     强连通图：有向图中的概念，任意两个结点都有双向路径，比如a->b 和 b->a 都有路径（不要求直接相连，只要有路径即可）

　　　　　　　如果有一条u到v的有向路径，同时有一条v到u的有向路径，则称为两个顶点的强连通。

　　　　　　　顶点数目大于1的强连通分量中必然存在回路。

2、n个顶点的连通图（或者强连通图）最少有多少条边？

　 

3、极大连通子图：

　　极大是因为加入任何一个不在图中的点集都会导致不再连通。

　　连通图只有唯一极大连通子图，就是本身。

　　非连通图，有多个极大连通子图。（非连通图的极大连通子图叫做连通分量，每个分量都是一个连通图）

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　　下图为非连通图，图中有两个极大连通子图（连通分量）。

　　

 4、极小连通子图：只能存在于连通图中

　　极小是因为连通子图包含的边最小，删除任何一条边，就无法构成树。

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5、连通分量：无向图中的概念， 指的是连通图的极大连通子图。

　　　　　　连通图的连通分量只有1个，就是本身。非连通图（必须是无向图）有多个连通分量。

　　　　　　子图一定包含所有顶点，边可以为空，但是顶点不行。顶点也是一种图。

　  强连通分量：有向图中的概念，首先这个图是强连通的，就是任意两个结点都有双向路径相连。这样的一个图的极大强连通子图，称为强连通分量。

　　　　　　　　单独的一个顶点，也构成一个强连通分量。

6、生成树：包含全部顶点的极小连通子图，n个顶点的图生成树有n-1条边（见4中的示意图）

      生成森林：非连通图中所有连通分量（也就是极大连通子图）的生成树，组成森林（见3中的示意图）。

7、顶点的度：以该顶点为一个端点的边的数目。

　　　　对于有n个顶点，e条边的图来说。

　　　　　　无向图中：度的总数为2e ，因为每一个边有2个端点，生成2个度，所以总共有2e个度。

　　　　　　有向图中：一条边可以产生一个入度，一个出度，所以入度的个数=出度的个数=2，总度数=入度+出度=2e。

8、网：就是在图中给每条边增加一个权重。

　　　　稀疏和稠密的界定：|E|<|V|*log^|V| , E指边数，V指结点数。

9、路径：从顶点 v 到 w 所经过的顶点的序列。

　  简单路径：路径中的顶点不重复。

　  距离：最短的路径长度

      回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

10、完全图：就是图中任何两个结点，都有路径直接相连。

　　无向完全图：任意两个结点直接相连，不带方向。

   　

　　有向完全图：符合完全图的定义，并且任意两个结点之间都有方向相反的两条线连接。

　  　

二、图的存储及基本操作

1、邻接矩阵和邻接表法：

2、十字链表：用在有向图上，解决了有向图中无法快速找到某顶点入边的这一弊端。

　　出度和邻接表一样，入度指向出度的边表。

3、邻接多重表：用在无向图上，解决无向图中每一个结点都需要两个边表结点存放的弊端。

4、任意一个顶点的度：

　　邻接矩阵无向图：顶点 i 的度等于第 i 行中 1 的个数。

　　邻接矩阵有向图：出度等于第 i 行中1的个数，入度等于第 i 列中1的个数。

　　邻接表无向图：顶点 i 的度数等于顶点表结点 i 的右边对应的边表结点的个数。

　　邻接表有向图：出度等于顶点表结点 i 的右边对应的边表结点的个数， 顶点 i 的入度等于邻接表中所有编号为 i 的边表结点数。度数=入度+出度。