树、二叉树及森林的部分性质及证明

树的性质：

1、高度为 m 的树中第 i 层上至多有 m^i-1 个结点（i≥1）。

2、高度为 h 的 m 叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点。

　  　　证明：等比数列求和 S=1+m+m²+......m^h-2+m^h-1=(m^h-1)/(m-1)   , 注意等比数列求和的n指的是相数而不是最高项的次数。

3、具有n个结点的m叉树的最小高度为⌈logm(n(m-1)+1)⌉。

　  　　证明：思路是只有当这n个结点建立的m叉树为满的时候，树的高度才会最低。　　　

                    　　 层次           度为3时的结点数          度为m时的结点数

                      　　 1                   3^0                                  m^0

                      　　 2                   3^1                                  m^1

                       　　3                   3^2                                  m^2

                      　　 ………………………………………………

                       　　 i                    3^(i-1)                               m^(i-1)

                      　　 ………………………………………………

                       　　 h                  3^(h-1)                               m^(h-1)

       　　所以得到n=m^0+m^1+…+m^(h-1)=(m^h-1)/(m-1)，解得h>=logm(n(m-1)+1)，即logm(n(m-1)+1)向上取整。

4、树的路径长度是指树根到每个结点的路径长的总和，根到每个结点的路径长度的最大值应是树的高度减1。（注意与哈夫曼树的带权路径长度区别）

5、常见的树结点与度之间的关系：

　　　  a.   总结点数=n₀+n₁+n₂+....+n_m

　　　　b.   总分支数=1n₁+2n₂+....+mn_m(度为m的结点引出m条分支)

　　　　c.　总结点数=总分支数+1

 

 二叉树的性质：

1、在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域（重要结论）。

　　　  证明：首先要明白链域是什么意思：

　　　　a.  链就代表指针，就是下个元素的地址。

　　　　b.  链表中一个结点可以分为两个部分，也可以说是区域，一个区域存放指针，被称为指针域，另一个区域存放数据，叫做数据域。链表中的指针域中的内容就是指针，单链表中一个指针域存放一个指针，双链表中两个指针域各存放一个指针。

　   　

            

2、若 i≤⌊n/2⌋ ，则结点 i 为分支结点，否则为叶子结点。

3、若 n 为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子；若 n 为偶数，则编号最大的分支结点（编号为n/2）只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点左、右孩子都有（默认是指完全二叉树，包括满二叉树）。

　　证明：性质2和3本质上是同一件事，即：

　　　　　如何证明对于编号为 i 的结点，若有双亲，则其双亲为 ⌊i/2⌋，若有左孩子，则左孩子为2i；若有右孩子，则右孩子为2i+1。

　　　　　

                             

　 　推广到满 m 叉树：

　　　　规定：高度h，满m叉树，根结点在第1层，顺序编号。

　　　　　　　

 4、具有n个（n>0）结点的完全二叉树的高度为 ⌈log₂⁽ⁿ⁺¹⁾⌉ 或 ⌊log₂ⁿ⌋ +1 。

　　　　证明：

　　　　          

 5、分支结点：就是总结点减去叶子结点。

 6、二叉树的宽度：具有最多结点数的层中包含的结点数。

森林的性质：

1、对森林所对应的二叉树进行中序遍历，相当于对森林中的每一棵树从左到右进行后序遍历。