2.Transformation线性变换

WHY

• 我们通过摄像机对拍摄的画面进行缩放、旋转、偏移，来将三维模型映射到二维的屏幕画面上

二维线性变换

$$\begin{gathered} x^{,}=ax+by \\ {y}^{,}=cx+dy \\ \left[\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right] \\ {x}^{,}=Mx \end{gathered}$$

• 二维线性变换通用形式

1.缩放矩阵

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}S& 0\\ 0& S\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

• 对于矩阵上任意点$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$经过缩放矩阵后，结果为$\left[\begin{array}{c}Sx\\ Sy\end{array}\right]$，比较好理解
• 当然，x轴和y轴方向的缩放不一定相同

2.反射矩阵

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

• 对于矩阵上任意点$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$经过反射后，结果为$\left[\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right]$，相当于图像对于y轴进行了反转

3.切变矩阵

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

• 切变，具体表现为像拉着图像的一角向一个方向倾斜
• 观察可得当y=0时，图像在水平方向移动为0，当y=1时，图像在水平方向移动为a,且图像的y轴一直没有变化
• 得出结论，对于矩阵上任意点$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$经过切变后，结果为$\left[\begin{array}{c}x+ay\\ y\end{array}\right]$

4.旋转矩阵

• 前提：绕着原点（0，0）旋转，且默认逆时针旋转

$$R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$

推导流程

• 通过特殊点$A(0,1)$经过旋转$\theta$角度，现在的坐标为$(cos\theta ,sin\theta )$，可得$\left[\begin{array}{c}cos\theta \\ sin\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}AB\\ CD\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$,得到两个式子$cos\theta =A\ast 1+B\ast 0=A,sin\theta =C\ast 1+D\ast 0=C$
• 通过特殊点$B(0,1)$经过旋转$\theta$角度,现在的坐标为$B(-sin\theta ,cos\theta )$,可得$\left[\begin{array}{c}-sin\theta \\ cos\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}AB\\ CD\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$,得到两个式子$-sin\theta =A\ast 0+B\ast 1=B,cos\theta =C\ast 0+D\ast 1=D$
• 得出$A=cos\theta ,B=-sin\theta ,C=sin\theta ,D=cos\theta$

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齐次座标

WHY

为什么要学习齐次座标，因为平移变换不能直接写成矩阵形式

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$

• 带入上面的通用式子后发现不能直接套用
• 为了统一标准表现矩阵的变换，大佬们引入了齐次座标
• 二维点=$(x,y,1{)}^T$
• 二维向量=$(x,y,0{)}^T$
• 二维点的平移矩阵如下

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\\ w^{,}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ 1\end{array}\right]$$

仿射变换

• 统一二维线性变换和平移变换，引入了仿射变换
• 仿射变换=线性变换+平移，类似结构如下

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$$

• 所有仿射变换可以写成齐次坐标形式

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$

缩放矩阵（齐次坐标）

$$S(s_x,s_y)=\left(\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

旋转矩阵(齐次坐标)

$$R(\alpha )=\left(\begin{array}{ccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

平移矩阵（齐次坐标）

$$T(t_x,t_y)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

多种变换组合

要点

• 组合变换的顺序不能调换
• 运算的顺序为从右往左

例子：

图像先旋转45，再x轴平移1。

例题：这个矩阵如何变化到最终结果

• 先平移到原点（0，0）
• 旋转到相应角度
• 平移相同距离返回到移动前的位置

三维线性变换

• 3D point=$(x,y,z,1{)}^T$
• 3D vector=$(x,y,z,0{)}^T$

三维空间仿射变换

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{,}\\ y^{,}\\ z^{,}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t^z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$$

缩放

$$S(s_x,s_y,s_z)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

平移

$$T(t_x,t_y,t_z)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

旋转

-绕x轴旋转

$$R_x(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ 0& sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

-绕y轴旋转

$$R_y(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}cos\alpha & 0& sin\alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\alpha & 0& cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

-绕z轴旋转

$$R_z(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0& 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• 绕x轴旋转，绕z轴旋转和绕y轴旋转矩阵为什么不一致
• 因为y轴是由z轴叉乘x轴获得的（根据右手螺旋定则，手指由z轴绕向x轴，大拇指方向为y轴方向）
• x轴是由yXz得到，z轴是由xXy得到，y是相反的

罗德里格斯旋转公式：把任意旋转转化成矩阵形式

$$R(n,\alpha )=cos(\alpha )I+(1+cos(\alpha ))n{n}^T+sin(\alpha )\underset{N}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\end{array}\right)}}$$

推导流程

观测变换（Viewing Transformation）

• 视图、摄像机变换
• 投影变换
  • 正交变换
  • 透视变换

1.视图变换（View/Camera Transformation）

问题：怎么拍一张照片

1. 选一个好地方，人摆好位置（model transformation）
2. 选一个好的角度放置摄像机，包括摄像机的位置高度，朝向等（view transformation）
3. 拍照，把三维空间投影到二维空间（projection transformation）

简称MVP变换

• 通过三个变量来确定摄像机的唯一属性
• Position $\overrightarrow{e}$,摄像机在三维空间里的位置座标
• Look-at/gaze direction $\hat{g}$，表示摄像机的朝向
• up direction $\hat{t}$，摄像机自身向上的方向

• 约定摄像机摆放在原点（0，0，0），自身朝向以y轴为向上，以-z轴方向为观测方向

问题：怎么让一个摄像机回到原点并恢复默认观察状态

1. 移动摄像机回到原点（0，0，0）
2. 旋转$\hat{g}$,使其朝向-z轴
3. 旋转$\hat{t}$,使其朝向y轴

简单的描述为先平移后旋转

NEXT:怎么用矩阵来表示？

• $M_{view}=R_{view}{T}_{view}$
• 平移的矩阵好写的，但是旋转$\hat{g}$和旋转$\hat{t}$的矩阵比较复杂
• 但是从-Z、Y、X轴旋转到$\hat{g},\hat{t}$向量的逆矩阵很好写

• 得到逆矩阵
• 由于旋转矩阵是正交矩阵，矩阵的转置=逆矩阵,转置后获得了旋转矩阵

总结

• 拍摄的物体要和摄像机一起运动到相对位置上
• 摄像机自身朝向为y轴，拍摄方向为-Z轴

2.投影变换(Projection transformation)

把三维空间投影到二维空间

a)正交投影（Orthographic projection）

• 不管摄像机距离远近，一样的大小
• 常用于UI界面

常规方式理解正交投影操作

• 正交投影的操作类似于把一个已知长宽高的立方体，不同比例缩放到$(-1,1{)}^3$的标准1体积立方体中来
• 首先，把立方体放置到原点（0，0，0）
• 然后把长宽高缩放到（-1，1）

矩阵怎么表示？

$$M_{ortho}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{l+r}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{n+f}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

b)透视投影(Perspective projection)

特点：

• 近大远小

• 齐次坐标中表示3维中的一个点（x,y,z,1）,乘以k(k!=0)，（kx,ky,kz,k）,这个点还是原来的点（3维中）。

透视投影的转换关系表示

• 关键思想：找到初始点（x,y,z）与转化后的点（x',y',z'）的关系
• 根据相似三角形$y^{,}=\frac{n}{z}y$,同理$x^{,}=\frac{n}{z}x$,z轴方向未知
• 我们可以反推出变换矩阵的第一第二行和最后一行

接着来求第三行

• 根据近平面投影切面的点P’(x',y',z')的z'始终为z'，z’对于投影后的P’已经没有意义了，这个信息点已经没用了
• 但对于3D图形管线来说，为了便于进行后面的片元操作，例如z缓冲消隐算法，有必要把投影之前的z保存下来，方便后面使用。
• 因此，我们利用这个没用的信息点存储为n，设第3个数为n
• x,y,1同乘以n,得到新的式子，已知矩阵的第三行与x,y无关，所以前两个位置为0，后两个位置设为A,B ,得到An+B1=n^2

矩阵表示：

• 再根据远平面切面的中心点经过变换仍是中心点，得到

• 联立后可得

• 最终推导出透视投影的变换矩阵

$$M_{persp->ortho}=\left(\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$