1.线性代数基础

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目录

• 一、向量
  • 向量的加法Vector Addition
  • 向量乘法Vector Multiplication
    • 1.点乘dot product
      • 点乘属性
      • 笛卡尔座标系下的点乘
      • 图形学中的点乘
    • 2.叉乘Cross product
      • 叉乘属性
      • 笛卡尔座标系下的叉乘
      • 图形学中的叉乘
• 二、矩阵
  • 矩阵乘法
    • • 例题
    • 矩阵乘法属性
    • 矩阵转置
    • 向量的点乘叉乘用矩阵来表示

一、向量

$$\overrightarrow{AB}=B-A$$

• 向量AB=点B-点A

$$\hat{a}=\frac{\overrightarrow{a}}{||\overrightarrow{a}||}$$

• 向量的单位向量（归一化）

$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) \\ {A}^T=\left(\begin{array}{c}x,y\end{array}\right) \\ ||A||=\sqrt{x^2+y^2} \end{gathered}$$

• 向量的转置
• X和Y可以是任何（通常是正交单位）向量

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向量的加法Vector Addition

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向量乘法Vector Multiplication

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1.点乘dot product

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||cos\theta$$

$$cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||}$$

$$cos\theta =\hat{a}\cdot \hat{b}$$

点乘属性

$$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}$$

$$(k\overrightarrow{a})·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}·(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})$$

笛卡尔座标系下的点乘

-in 2D

$$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b$$

-in 3D

$$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$$

图形学中的点乘

• 获取两个向量的夹角
• 获取一个向量在另一个向量上的投影

图中$\overrightarrow{b_{\mathrm{\perp }}}$是$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影

$$\overrightarrow{b_{\mathrm{\perp }}}=k\hat{a}$$

$$k=||\overrightarrow{b_{\mathrm{\perp }}}||=||\overrightarrow{b}||cos\theta$$

• 判断两个向量的方向接近情况

附上$cos\theta$的变化图

• 由上图可知 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$的值是根据$cos\theta$的正负相关的，在第一和第四象限是正值，第二第三象限是负值。
• 所以两个向量点乘结果为负，说明两个向量的夹角>90（用来判断目标在角色身前还是身后）

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2.叉乘Cross product

• 叉乘结果向量c与两个初始向量a,b正交
• c的方向定义为垂直于a和b所构成的平面，并且a，b和c构成右手螺旋定则，也就是右手四指方向从a转向b，大拇指即得到c方向
• 常用于生成座标系
• c的模即以a和b为两条边的平行四边形的面积

叉乘属性

笛卡尔座标系下的叉乘

相关证明流程

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)$$

图形学中的叉乘

• 用来判断左右
• 用来判断点在三角形的内侧/外侧

• 假如点P在三角形的内部需要满足$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}>0$、$\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BP}>0$、$\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CP}>0$
• 如果点p在某一条边上，那么该边上的叉乘结果就会是0（两个共线向量的叉乘结果为0）
• 如果有任何一个结果为负，那么p在三角形外

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二、矩阵

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矩阵乘法

• 矩阵A乘以矩阵B，需要满足条件矩阵A的列数=矩阵B的行数(M x N) (N x P) = (M x P)
• 将向量视为列矩阵

例题

第一个？=1x6+3x7=27,第二个？=0x4+4x3=12

矩阵乘法属性

• 不满足交互律，即$AB\ne BA$（B的列数不一定等于A的行数）
• 满足分配律和结合律
  • $（AB）C=A（BC）$
  • $A(B+C)=AB+AC$
  • $(A+B)C=AB+AC$

矩阵转置

${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$

• 属性

$$(AB{)}^{\mathrm{\top }}=B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}$$

• 单位矩阵

$$I_{3\times 3}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• A矩阵乘以A的逆矩阵，如果结果为单位矩阵，则称两者互逆。

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$

• AB乘积的逆，跟转置类似

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

向量的点乘叉乘用矩阵来表示

• 点乘

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^T\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{ccc}{x}_a& y_a& z_a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=(x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b)$$

• 叉乘

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=A\ast \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$$