叉乘(七)——线段是否在多边形内？

判断线段是否在多边形内：

　　线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内，但由于多边形可能为凹，所以这不能成为判断的充分条件。

　　如果线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的端点），

　　因为多边形的边的左右两侧分属多边形内外不同部分，所以线段一定会有一部分在多边形外(见图a)。

　　于是我们得到线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边形的所有边都不内交。

　　线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；

　　但是如果多边形的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含于多边形内部（反例见图b)。

　　因此我们可以先求出所有和线段相交的多边形的顶点，

　　然后按照X-Y坐标排序(X坐标小的排在前面，对于X坐标相同的点，Y坐标小的排在前面，这种排序准则也是为了保证水平和垂直情况的判断正确)

　　这样相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点，如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一定在多边形内。

　　对应的算法如下：

if 线端PQ的端点不都在多边形内
      then return false;
    点集pointSet初始化为空;
    for 多边形的每条边s
      do if 线段的某个端点在s上
           then 将该端点加入pointSet;
         else if s的某个端点在线段PQ上
           then 将该端点加入pointSet;
         else if s和线段PQ相交 // 这时候已经可以肯定是内交了
           then return false;
    将pointSet中的点按照X-Y坐标排序;
    for pointSet中每两个相邻点 pointSet[i] , pointSet[ i+1]
      do if pointSet[i] , pointSet[ i+1] 的中点不在多边形中
           then return false;
    return true;