叉乘(三)——线段与线段相交吗？

用途3：

我们现在的任务就是判断线段P1P2和线段Q1Q2是否相交。

我们分两步确定两条线段是否相交：

　　(1)快速排斥试验

　　　　设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R，

　　　　设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，

　　　　如果矩形R和矩形T不相交，显然两线段不会相交。

　　(2)跨立试验

　　　　如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。

　　　　若P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，

　　　　即1.(P1 - Q1) x (Q2 - Q1)<0, 这个式子表明Q1Q2在P1Q1的右方，也就是说P1Q1在Q1Q2的左方；

　　　　   2. (Q2 - Q1) x (P2 - Q1)<0,这个式子表示P2Q1在Q1Q2的右方，

　　　　上面两个式子可写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。

　　　　当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，

　　　　但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；

　　　　同理，( Q2 - Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。

　　　　所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：

　　　　( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0。

　　　　同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：

　　　　( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) >= 0。

具体情况如下图所示：