最基本的位运算

=== 1. and运算 ===( & )

　　and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.

　　相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

　　00111

     11100

　　（&或者and）

　　----------------

　　00100

=== 2. or运算 ===( | )

　　or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

　　相同位只要一个为1即为1。

　　00111

　　11100

　　（|或者or）

　　----------------

　　11111

=== 3. xor运算 ===( ^ )

　　异或的符号是⊕。

　　xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。

　　xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

　　下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@（xor=⊕），这两个符号互为逆运算，也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令，结果是什么？

　　相同位不同则为1，相同则为0。

　　00111

　　11100

　　（^或者xor）

　　----------------

　　11011

=== 4. not运算 ===( ~ )

　　not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

　　var

　　a:word;

　　begin

　　a:=100;

　　a:=not a;

　　writeln(a);

　　end.

　　#include <stdio.h>

　　int main()

　　{

　　unsigned short a=100;

　　a = ~a;

　　printf( "%d\n", a );

　　return 0;

　　}

　　如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. shl运算 ===( << )

　　a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

　　通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

　　定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 ===( >> )

　　和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

位运算的简单应用　　

        有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、

每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。

        例如，一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示（二进制为000010010），而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。

需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去，而是直接进行位操作。在搜索时，

把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。

　　下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

            功能              ｜               示例                 ｜         操作

　　去掉最后一位                | 　　(101101->10110)                    |　　 x shr 1

　　在最后加一个0          　| 　　(101101->1011010)                |　　 x shl 1

　　在最后加一个1          　| 　　(101101->1011011)                |　　 x shl 1+1

　　把最后一位变成1       　| 　　(101100->101101)                 |　　 x or 1

　　把最后一位变成0　       |　　 (101101->101100)                 | 　　x or 1-1

　　最后一位取反                 | 　　(101101->101100)                  |　　 x xor 1

　　把右数第k位变成1         | 　　(101001->101101,k=3)          |　　 x or (1 shl (k-1))

　　把右数第k位变成0         | 　　(101101->101001,k=3)          | 　　x and not (1 shl (k-1))

　　右数第k位取反　           | 　　(101001->101101,k=3)          | 　　x xor (1 shl (k-1))

　　取末三位                         | 　　(1101101->101)                      |　　 x and 7

　　取末k位　                       | 　　(1101101->1101,k=5)            |　　 x and (1 shl k-1)

　　取右数第k位               　| 　　(1101101->1,k=4)                  | 　　x shr (k-1) and 1

　　把末k位变成1             　| 　　(101001->101111,k=4)          | 　　x or (1 shl k-1)

　　末k位取反                        | 　　(101001->100110,k=4)           | 　　x xor (1 shl k-1)

　　把右边连续的1变成0      |　　 (100101111->100100000)     |　　 x and (x+1)

　　把右起第一个0变成1      | 　　(100101111->100111111)     | 　　x or (x+1)

　　把右边连续的0变成1      | 　　(11011000->11011111)         | 　　x or (x-1)

　　取右边连续的1                 | 　　(100101111->1111)                 |　　 (x xor (x+1)) shr 1

　　去掉右起第一个1的左边 |　　 (100101000->1000)　　　　 | 　　x and (x xor (x-1))

　　最后这一个在树状数组中会用到。

　　Pascal和C中的16进制表示 　　

        Pascal中需要在16进制数前加$符号表示，C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。