abc310f <dp + bitmask>

合集 - ACM-abc(68)
1.abc306e <mutiset的使用>2.abc053d <简单贪心>3.abc042d <组合数>4.abc043d5.abc045d6.abc044d <根号分治>7.abc046d8.abc047d9.abc048d <博弈>10.abc049d <并查集>11.abc050d <???>12.abc051 <多源最短路>13.abc052d14.abc054d <dp, 背包>15.abc055d <枚举>16.abc056d <贪心 / 二分+DP+bitset>17.abc057d <贪心+组合计数>18.abc058d <公式化简>19.abc059d <博弈, 打表找规律>20.abc060d <dp, 背包>21.abc061d <单源最短路, spfa, 判断负环>22.abc062d <优先队列>23.abc063d <二分答案>24.abc064d <贪心/前缀和>25.abc309f <线段树 + 离散化 + 双指针>26.abc309e <dfs>27.abc065d <贪心+最小生成树> [lambda表达式]28.abc066d <组合>29.abc067d <博弈 + dfs>30.abc068d <思维 + 构造>31.abc069d <构造>32.abc070d <简单树上dfs>33.abc071d <递推>34.abc072d <贪心>35.abc073d <Floyed + 枚举排列>36.abc074d <Floyed 消除传递边>37.abc075d <暴力枚举 / 枚举+离散化+二维前缀和>38.abc076d <dp / 贪心>39.abc077d <思维 + 最短路 (将构造数字过程视为最短路)>40.abc078d <博弈>41.abc079d <Floyed>42.abc080d <区间重叠>43.abc081d <思维 构造>44.abc082d <bitset 状压dp>45.abc083d <思维 贪心>46.abc084d <素数筛 前缀和>47.abc085d <贪心>48.abc086d <二维前缀和 同余>49.abc087d <并查集 维护距离信息>50.abc088 <bfs 最短路>51.abc089 <前缀和>52.abc310d <dfs暴搜-分组方案数 / bitmask表示集合+dp>53.abc310e <公式递推(dp?)>
54.abc310f <dp + bitmask>
55.abc090d <枚举计数>56.abc312c <二分答案>57.abc312d <dp, 括号匹配方案数>58.abc312e <暴力>59.abc320f <dp >60.abc092d<构造，思维>61.abc094d<组合数>62.abc095d<思维>63.abc096d<素数筛，整除>64.abc097d<并查集，排列>65.abc098d<双指针，异或>66.abc099d<dfs，枚举排列方案>67.abc100d<枚举>68.abc101d<打表，数学>
收起

题目

F - Make 10 Again

思路

参考

  • 动态规划, dp[i][j]表示前i个骰子,可组合出的点数集合为j的概率为dp[i][j];
  • 预处理nxt[i][j], 表示点数集合状态为i,在得到一个新的骰子的点数j后, 可转移到的点数集合nxt[i][j];
  • 注意: 如何处理a[i]>10的情况, 见代码;

总结

  • bitmask 枚举状态, 尤其是集合状态;
  • 如何处理概率取模, 这份代码就很简洁;
  • 预处理bitmask的状态转移;

代码

Code 
#include <bits/stdc++.h>

#define LL long long
using namespace std;
const LL mod = 998244353;

LL qpow(LL x, LL k)
{
	LL res = 1;
	while (k)
	{
		if (k & 1) res = res * x % mod;
		k >>= 1;
		x = x * x % mod;
	}
	return res;
}

long long n, a[110], dp[110][2100], nxt[2100][20];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		cin >> a[i];
	dp[0][1] = 1;
	// nxt[i][j] 在状态i的基础上, 得到一个新的骰子的点数为j, 则可组合得出的骰子的点数集合的状态为 nxt[i][j]
	for (int i = 0; i < 2048; ++i)	  // 0 ~ (1<<11)
		for (int j = 1; j <= 10; ++j) // 当前骰子点数
		{
			int ii = i;					 // 从状态i, 得到新的骰子点数j, 可转移到的所有状态ii
			for (int k = 0; k < 11; ++k) // 与状态i中哪种组合k相加, 得到新的骰子点数和
				if ((i & (1 << k)) && k + j <= 10)
					ii |= (1 << (k + j));
			nxt[i][j] = ii;
		}
	for (int i = 0; i < n; ++i)		   // 已掷出i个骰子, 考虑第i+1个骰子
		for (int j = 0; j < 2048; ++j) //
			if (dp[i][j])
			{
				long long po = qpow(a[i], mod - 2); 
				// den, 注意, 这里的分布是第i个骰子的可能数, 而不是当前循环正在枚举的第i+1个骰子

				for (int k = 1; k <= min(10LL, a[i]); ++k)
				{
					dp[i + 1][nxt[j][k]] = (dp[i + 1][nxt[j][k]] + dp[i][j] * po) % mod;
					// 前i个骰子可组成的状态集合为j, 当得到新的骰子点数为k, 则前i+1个骰子可组成的状态集合为nxt[j][k]
					// 因而, 状态从dp[i][j] 转移而来
				}
				if (a[i] > 10)
				{
					dp[i + 1][j] = (dp[i + 1][j] + dp[i][j] * (a[i] - 10) % mod * po) % mod;
					// 投出超过10的数, 则本轮骰子的点数并不能帮助得出新的状态;
					// 但是这也产生了新的骰子投掷结果组合, 因而需要计数
				}
			}
	LL ans = 0;
	for (int i = 0; i < 2048; ++i) // 状态集合i中, 包含点数和为10的组合可能
		if (i & (1 << 10))
			ans = (ans + dp[n][i]) % mod;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}
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