2023 Tsinghua-HKUST I <状压dp + 矩阵快速幂优化>

题目

I. Chinese chess

代码

Code

// <状压dp + 矩阵快速幂>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
using LL = long long;
const int mod = 20030214;
LL dp[2][1<<12];  // 滚动
vector<int> b[1<<12];  // b[i] 当前行的状态为i时, 上一行(下一行)的可行状态组成的列表

// 方阵 x 乘 y
vector<vector<int>> mul(vector<vector<int>> &x, vector<vector<int>> &y)
{
    int n = x.size();
    vector<vector<int>> res(n, vector<int>(n, 0));
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            for (int k = 0; k < n; k ++)
            {
                res[i][j] = (res[i][j] + 1ll * x[i][k] * y[k][j] % mod) % mod;
            }
    return res;
}

// 矩阵快速幂
vector<vector<int>> qpow(vector<vector<int>> x, int k)
{
    int n = x.size();
    vector<vector<int>> res(n, vector<int>(n, 0));
    for (int i = 0; i < n; i ++) res[i][i] = 1;  // 注意初始化单位阵

    while (k)
    {
        if (k & 1) res = mul(res, x);
        k >>= 1;
        x = mul(x, x);
    }
    return res;
}


// 打印矩阵
void print(vector<vector<int>> &x)
{
    cout << "---------------" << endl;
    for (int i = 0; i < x.size(); i ++)
    {
        for (int j = 0; j < x[i].size(); j ++)
            cout << x[i][j] << ' ';
        cout << endl;
    }
}

void solv()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    n ++, m ++;
    vector<int> a;  // 单行合法状态
    for (int i = 0; i < (1<<n); i ++)  // 遍历单行所有状态, 找到合法状态
    {
        bool flag = true;  // 初始合法
        for (int j = 0; j < n; j ++)  // 检查状态 i 的第 j 和 第j+1 位是否同时是 1(放置棋子)
        {
            bool x = i >> j & 1;
            bool y = i >> (j + 1) & 1;
            if (x && y)  // 如果同时为1, 则非法
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) a.push_back(i);  // 合法
    }

    dp[0][0] = 1;
    int k = a.size();  // 方阵大小
    vector<vector<int>> sq(k, vector<int>(k, 0));  // 零矩阵

    for (int i = 0; i < a.size(); i ++)
    {
        for (int j = 0; j < a.size(); j ++)
            if (!(a[i]&a[j]))   // 相邻两行的状态组合 i j 合法 (即没有任何一位同时为 1)
            {
                sq[i][j] = 1;
                b[a[i]].push_back(a[j]);
            }
    }

    sq = qpow(sq, m+1);
    cout << sq[0][0] << endl;

    // // 以下为未使用矩阵快速幂加速dp时, 状态压缩dp的做法
    // for (int _ = 1; _ <= m+1; _ ++)
    // {

    //     int i = _ & 1;
    //     int ii = i ^ 1;
        
    //     for (auto x: a)  // 遍历当前行状态
    //     {
    //         dp[i][x] = 0;
    //         for (auto y: b[x])  // 当前行状态可由上一行状态y转移过来
    //         {
    //             dp[i][x] = (dp[i][x] + dp[ii][y]) % mod;
    //         }
    //     }
    // }
    
    // LL ans = dp[(m+1)&1][0];  // 多计算一行, 则直接得到答案; 即 sum k: 0~(1<<n) dp[m&1][k]
    // cout << ans << endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    int T = 1;
	// cin >> T;
    while (T --)
    {
        solv();

    }
    return 0;
}