线性丢番图方程

线性丢番图方程定理

设 $a,b$ 是整数且 $gcd(a,b)=d$. 如果 $d$ 不能整除 $c$ , 那么方程 $ax+by=c$ 没有整数解, 如果$d$ 可以整除 $c$, 则存在无穷个解. 另外, 如果 $(x_0,y_0)$ 是方程的一个特解, 那么所有解都可以表示为 :

$$x=x_0+(\frac{b}{d})n,y=y_0-(\frac{a}{d})n$$

即: $ax+by=c$ 有解的充分必要条件是 $d=gcd(a,b)|c$
可借助如下图进行理解

扩展欧几里得算法与线性丢番图的解

求解 $ax+by=c$ 的主要是找到一个特解, 那么 $exgcd$ 的作用就是找到一个特解
其扩展欧几里得算法如下:

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){

    if(b == 0){

        x = 1, y = 0;

        return a;

    }

    int d = exgcd(b, a % b, y, x);

       y -= a / b * x;

    return d;

};

有时为了简化描述, 把 $ax+by=gcd(a,b)$ 两边除以 $gcd(a,b)$, 得到 $cx+dy=1$, 其中 $c=\frac{a}{gcd(a,b)}$, $d=\frac{b}{gcd(a,b)}$. $c$ 与 $d$ 是互素的, 则 $cx+dy=1$ 的通解为 $x=x_0+dn$, $y=y_0-cn$
具体步骤如下:

例题: P1516 青蛙的约会 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){

    if(b == 0){

        x = 1, y = 0;

        return a;

    }

    int d = exgcd(b, a % b, y, x);

       y -= a / b * x;

    return d;

};

signed main()

{

    std::ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);

    int n, m, x, y, L; cin >> x >> y >> m >> n >> L;

    int a = n - m, b = L, c = x - y;

    if(a < 0) a = -a, c = -c;

    int d = exgcd(a, b, x, y);

    if(c % d != 0) cout << "Impossible" << '\n';

    else cout << ((x * (c / d)) % (L / d) + (L / d)) % (L / d) << '\n';

    return 0;

}
```![](https://img2024.cnblogs.com/blog/3205031/202408/3205031-20240806202623129-592127437.png)