线性基

定义

线性基用于解决类似于: "给定 $n$ 个数, 取任意个数, 使得异或值最大"此类问题

本质上还是求出多个数最大和最小的异或和,由于给出的数目较大, 如果直接一一比较的话时间复杂度较大,可以通过线性基优化, 假如有 $n$ 个, 其中最大的数二进制位数为 $m$ 位, 那么线性基可以把原来的 $2^n$ 的组合优化到 $2^m$, 一次的时间复杂度为 $m$. 虽然理论上有 $2^n$ 种组合, 但是由于: 任意两个数 $a,b$ 做异或运算之后不会比他们两者的最高二进制位还要高, 所以 $2^n$ 种组合中最大的数也就是$2^m-1$ 也就是异或结果会在: $[0$ ~ $2^m-1]$ 这个区间内

这里介绍一下什么是线性基, 举个形象的例子来说, $A=[2,3,5,6,7]$ 那么它的任意组合有 $2^n-1$ 种, 对 $A$ 中所有的数做异或运算之后得到所有的可能性: $[0,1,2,3,4,5,6,7]=8$ 种, $A$ 中最大的数字二进制位是 $3$ 位, 此时我们有个线性基 $P=[5,2,1]$, 有 $2^3-1=7$ 种, 注意线性基不能处理异或为 $0$ 的可能性, 故此时为 $7$ 种, 注意, 线性基不是唯一的

算法

接下来考虑如何构造线性基, 下面通过分析两个例子
$(1).$ 首先分析一种特例, $A$ 中所有的元素的二进制位均不同, 那么 $A$ 自身就是一个线性基, 例如 $A=[1,3,9]=[1,11,1001]$, 那么很明显是 $1,2,4$ 位, 均不同, 此时 $A$ 自己就是自己的线性基, 因为如果我需要异或出一个长度为 $4$ 的数, 那么 $P$ 中必须有长度为 $4$ 的数, 对于其他数字同理
$(2).$ 对于 $A$ 中的数字较为繁杂, 含有相同位数的数字, 我们这样处理, 对于任意相同的数字, 直接异或即可. 先讨论两个位数相同的线性基构造. 设 $A=[a_1,a_2]$ 且两者二进制位数相同, 那么其线性基为: $P=[a_1,a_1\oplus a_2]$, 下面给出证明: 对于 $A=[a_1,a_2]$ 的组合: $[a_1,a_2,a_1\oplus a_2]$ , 而 $P$ 的组合为: $[a_1,a_1\oplus a_2,a_1\oplus a_1\oplus a_2=0\oplus a_2=a_2]$, 由此可见, 两者相同, 那么我们对于相同位的直接做异或处理即可.

1. 最小异或和
   由于最小异或和就一个值, 那么不是 $0$ 就是位数最小的那个数字
2. 最大异或和
   考虑贪心, 对于每一位的数字, 我们直接做异或看看是否增大, 若增大, 我们就直接加进去, 为什么这样是对的? 因为我们从大到小开始, 对于最大的, 肯定不会存在一个其它的数可以到达最高位. 对于次大的, 若异或后对答案有益, 我们就异或, 因为不会存在一个更大的数可以使答案更优, 换句话说, 比它小的元素任意的组合都不会比它大.

例题

下面给出例题: 线性基

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;
signed main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n; cin >> n;
    vector<int> p(65);
    bool zero;
    auto insert = [&](int x) -> void{
        for(int i = 61; i >= 1; i--){
            if(x >> (i - 1)){
                if(p[i] == 0){
                    p[i] = x;
                    return;
                }
                else x ^= p[i];
            }   
        }
        zero = true;
    };
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int x; cin >> x;
        insert(x);
    }
    int res = 0;
    for(int i = 61; i >= 1; i--){
        res = max(res, res ^ p[i]);
    }
    cout << res << '\n';
    return 0;
}