莫队
以为自己一辈子接触不到的算法,本来以为很高深,没想到是优雅的暴力,太绝妙了
对于多个区间查询,例如区间最大值等,我们考虑暴力,枚举区间 $[L,R]$,取最大值即可,时间复杂度 $O(m*(R-L))$,跑不起,所以我们借用数据结构,单调队列,树状数组等等,但是如果此时我们考虑优化暴露
首先我们这样优化: 设两个指针,然后如果左指针小于左端点,那么左指针向右走,依次遍历,这样可以减少遍历次数
其次: 考虑左指针,我们可以存取每个区间,然后按照区间的左端点排序,这样左指针最多走 $n$ 次,但是右端点无序,最坏仍然是 $O(n^2)$
那么我们能不能取个平衡呢? 也就是我们使左指针的复杂度升高,右指针的复杂度降低,此时我们考虑分块,一块一块的来求,我们把序列分为 $\sqrt{n}$ 块,然后对查询区间进行排序,如果左端点不在同一个块上,那么按照块大小排序,如果在一个块上,那么按照右端点进行排序
这样我们的左端点可以做到部分有序,右端点有序, 接下来讨论复杂度:
对于左指针:
设每个块 $i$ 中分布有 $x_i$ 个左端点，由于莫队的添加、删除操作复杂度为 $O(1)$，那么处理块 $i$ 的最坏时间复杂度是 $O(x_i\sqrt{n})$，指针跨越整块的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，最坏需要跨越 $n$ 次；总复杂度 $O(\sum x_i \sqrt{n})=O(n\sqrt{n})$。
对于右指针:
由于在一个块内的右端点是有序的,那么我们遍历一个块时,右指针最坏移动 $n$ 个点,一共有$\sqrt{n}$个块,那么时间复杂度为: $O(n\sqrt{n})$
排序复杂度: $(O(n\log n)\)$
总复杂度: $O(n\sqrt{n})$
模板:
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int a[N]; int pos[N]; int ans[N]; int res; // 维护当前[l,r]的值 struct Query { int l, r, k; }q[N]; void add(int pos){ } void del(int pos){ } int main () { int n, m; cin >> n >> m; int t = sqrt (n); for (int i = 1; i <= n; i ++) { cin >> a[i]; pos[i] = i / t + 1; } for (int i = 1; i <= m; i ++) cin >> q[i].l >> q[i].r; sort (q + 1, q + 1 + m, [](Query x, Query y) { return pos[x.l] == pos[y.l] ? x.r < y.r : pos[x.l] < pos[y.l]; }); int l = 1, r = 0; // 始终维护[l,r]的答案，对于每一次询问都移动l,r指针，使其符合询问的区间 for (int i = 1; i <= m; i ++) { while (q[i].l < l) add (-- l); while (q[i].r > r) add (++ r); while (q[i].l > l) del (l ++); while (q[i].r < r) del (r --); // 记录答案 .... ans[q[i].k] = res; } for (int i = 1; i <= m; i ++) cout << ans[i] << " "; return 0; }
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#include <bits/stdc++.h> #pragma GCC optimize(2) using namespace std; const int N=2e5+10,mod=1e9+7; int pos[N],a[N],cnt[N],ans[N],res[N]; struct node{ int l,r,k,now; bool operator<(const node&w)const{ return (pos[l]^pos[w.l])?pos[l]<pos[w.l]:((pos[l]&1)?r<w.r:r>w.r); } }p[N]; void add(int x){ ans[cnt[a[x]]]--,cnt[a[x]]++,ans[cnt[a[x]]]++; } void del(int x){ ans[cnt[a[x]]]--,cnt[a[x]]--,ans[cnt[a[x]]]++; } signed main(){ std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0); int n; cin>>n; int len=sqrt(n); for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],pos[i]=i/len; int m; cin>>m; for(int i=1;i<=m;i++){ int a,b,c; cin>>a>>b>>c; p[i]={a,b,c,i}; } sort(p+1,p+1+m); int l=1,r=0; for(int i=1;i<=m;i++){ int num=p[i].k,id=p[i].now; while(l<p[i].l) del(l++); while(l>p[i].l) add(--l); while(r<p[i].r) add(++r); while(r>p[i].r) del(r--); res[id]=ans[num]; } for(int i=1;i<=m;i++) cout<<res[i]<<endl; }
P2709 小B的询问 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
#include <bits/stdc++.h> #define int long long #define endl '\n' using namespace std; const int N=1e6+10,mod=1e9+7; int g[N],pos[N],a[N],cnt[N],ans; struct node{ int l,r,id; bool operator<(const node &w)const{ return (pos[l]^pos[w.l])?pos[l]<pos[w.l]:((pos[l]&1)?r<w.r:r>w.r); } }p[N]; void add(int x){ cnt[a[x]]++,ans+=2*cnt[a[x]]-1; } void del(int x){ ans-=2*cnt[a[x]]-1,cnt[a[x]]--; } signed main(){ std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0); int n,m,k; cin>>n>>m>>k; int len=sqrt(n); for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],pos[i]=i/len; for(int i=1;i<=m;i++){ int a,b; cin>>a>>b; p[i]={a,b,i}; } sort(p+1,p+1+m); vector<int>res(m+1); int l=1,r=0; for(int i=1;i<=m;i++){ while(l<p[i].l) del(l++); while(l>p[i].l) add(--l); while(r<p[i].r) add(++r); while(r>p[i].r) del(r--); res[p[i].id]=ans; } for(int i=1;i<=m;i++) cout<<res[i]<<endl; }
#include <bits/stdc++.h> #pragma GCC optimize(2) using namespace std; const int N=1e6+10,mod=1e9+7; int pos[N],ans,a[N],res[N]; unordered_map<int,int>cnt; struct node{ int l,r,now; bool operator<(const node&w)const{ return (pos[l]^pos[w.l])?pos[l]<pos[w.l]:((pos[l]&1)?r<w.r:r>w.r); } }p[N]; void add(int x){ if(!cnt[a[x]]) ans++; cnt[a[x]]++; } void del(int x){ cnt[a[x]]--; if(!cnt[a[x]]) ans--; } signed main(){ std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0); int n,m=0; cin>>n; unordered_map<int,int>pos_,ok; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; if(!ok[a[i]]) ok[a[i]]=true,res[i]=-a[i]; else p[++m]={pos_[a[i]]+1,i-1,i}; pos_[a[i]]=i; } int len=sqrt(m); for(int i=1;i<=m;i++) pos[i]=i/len; sort(p+1,p+1+m); int l=1,r=0; for(int i=1;i<=m;i++){ //cout<<p[i].l<<' '<<p[i].r<<endl; while(l<p[i].l) ans-=!--cnt[a[l++]]; while(l>p[i].l) ans+=!cnt[a[--l]]++; while(r<p[i].r) ans+=!cnt[a[++r]]++; while(r>p[i].r) ans-=!--cnt[a[r--]]; res[p[i].now]=ans; } for(int i=1;i<=n;i++) cout<<res[i]<<' '; }
