(数论)裴蜀定理

裴蜀定理内容:

　　$ax+by=c,x\in Z^{\ast },y\in Z^{\ast }$成立的充要条件是$gcd(a,b)|c$。$Z^{\ast }$表示正整数集。

 

设$s=gcd(a,b)$，显然$s|a$，并且$s|b$

又因为$x,y\in Z^{\ast }$

所以$s|ax,s|by$
显然要使得之前的式子成立，则必须满足$c$是$a$和$b$的公约数的倍数
又因为$x$和$y$是正整数

所以$c$必然是$a,b$最大公约数的倍数。

裴蜀定理推广: 若两个素数互素,那么设分别为 $xy$ 那么有 $ax+by=N$,$N$为任何数,也就是若两个数互素,那么他们可以组合成任何数

 

//【模板】裴蜀定理
//https://www.luogu.com.cn/problem/P4549
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+10,mod=1e9+7;
signed main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int n,res=1; cin>>n;
    vector<int>a(n+1); cin>>a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++) cin>>a[i],res=__gcd(a[i],res);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

 

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本文作者：Sakurajimamai
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