(博弈论)Even Number Addicts

合集 - 刷题集(97)
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50.(博弈论)Even Number Addicts
51.Present52.Mr. Kitayuta's Colorful Graph(二维并查集,弱化版)53.Edgy Trees(dfs,并查集,快速幂,树形结构,红黑树)54.并查集55.再谈 前缀和,差分,离散化56.Best Cow Fences(前缀和+特殊二分)57.二分58.同类型,类背包动态规划,选地dp59.Primes on Interval(欧拉筛+二分+滑动窗口)60.字符串(KMP , Trie树 , STL)61.Codeforces1 #879 div.262.Add Modulo 10(数论,思维,数学,规律)63.期末考试YTU4035: Shmily(数学,等差数列)64.[POI2006] OKR-Periods of Words65.Getting Zero(Bfs)66.快速幂67.Dreaming of Freedom(数论,贪心)68.Scoring Subsequences69.Dolce Vita70.Cake Assembly Line71.Constructive Problem72.Forever Winter73.Maximum Sum(前缀和)74.Contrast Value(数学规律)75.Lamps(STL+双端队列)76.Long Long77.Sum in Binary Tree78.Apple Tree(树状搜索,树形DP)79.Strong Password(贪心思想)80.Come Together81.Notepad82.Hamiltonian Wall83.7.17作业84.逛画展(双指针)85.#88586.树状数组87.Subsequence Addition88.7.22作业89.Diverse Substrings90.Tracking Segments(二分,区间前缀)91.最大食物链计数92.线段树193.[TJOI2007] 线段(状态机)94.#87895.测试196.李白打酒97.砍竹子
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C. Even Number Addicts
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standard input
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standard output

Alice and Bob are playing a game on a sequence a1,a2,…,an1,2,…, of length n. They move in turns and Alice moves first.

In the turn of each player, he or she should select an integer and remove it from the sequence. The game ends when there is no integer left in the sequence.

Alice wins if the sum of her selected integers is even; otherwise, Bob wins.

Your task is to determine who will win the game, if both players play optimally.

Input

Each test contains multiple test cases. The first line contains an integer t (1≤t≤1001≤≤100) — the number of test cases. The following lines contain the description of each test case.

The first line of each test case contains an integer n (1≤n≤1001≤≤100), indicating the length of the sequence.

The second line of each test case contains n integers a1,a2,…,an1,2,…, (−109≤ai≤109−109≤≤109), indicating the elements of the sequence.

Output

For each test case, output "Alice" (without quotes) if Alice wins and "Bob" (without quotes) otherwise.

Example
input Copy
4
3
1 3 5
4
1 3 5 7
4
1 2 3 4
4
10 20 30 40
output Copy
Alice
Alice
Bob
Alice
Note

In the first and second test cases, Alice always selects two odd numbers, so the sum of her selected numbers is always even. Therefore, Alice always wins.

In the third test case, Bob has a winning strategy that he always selects a number with the same parity as Alice selects in her last turn. Therefore, Bob always wins.

In the fourth test case, Alice always selects two even numbers, so the sum of her selected numbers is always even. Therefore, Alice always wins.

 

解析:

共识：奇数 + 奇数 = 偶数；奇数 + 偶数 = 奇数；偶数 + 偶数 = 偶数。

统计序列 a 中偶数 ai​ 和奇数 ai​ 分别出现的次数 e、o，依次可确定下列几种情况，决定二人胜负态：

  1. 当 ≡2(mod4)o≡2(mod4) 时， Bob 存在必胜态；

Bob 仅需保证每次所取数字与 Alice 所取数字奇偶性相同即可，这样可以使二者取走的奇数个数相同。若在此过程中 Alice 取走了最后一个偶数，奇数必然剩余偶个。随后，Alice 和 Bob 各自将选择剩余奇数的一半。最后，Alice 和 Bob 都拥有 22o​ 个奇数，Alice 和为奇数，Alice 败。

  1. 当 ≡3(mod4)o≡3(mod4) 时， Alice 存在必胜态；

Alice 首先选择一个奇数，若 Bob 能从剩下的数字中取走偶个奇数，则 Bob 胜。从情况 1 中可知，Bob 必败。

  1. 当 ≡0(mod4)o≡0(mod4) 时， Alice 存在必胜态；

Alice 首先选择一个偶数，在随后的操作中，Alice 仅需保证每次所取数字与 Bob 所取数字奇偶性相同即可，这样可以使二者取走的奇数个数相同。若在此过程中偶数被取完，奇数必然剩余偶个。随后，Alice 和 Bob 各自将选择剩余奇数的一半。最后，Alice 和 Bob 都拥有 22o​ 个奇数，Alice 和为偶数，Alice 胜。

  1. 当 ≡1(mod4)o≡1(mod4) 时，先选择奇数的人败。

先选择奇数的人将会导致对手出现情况 3，对手必胜。博弈开始时，如果 e 为偶即 ≡0(mod2)e≡0(mod2)，则 Bob 将会取走最后一个偶数，Alice 败；e 为奇即 ≡1(mod2)e≡1(mod2)，则 Alice 胜。

复制代码
//https://www.luogu.com.cn/problem/CF1738C
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int num1,num2,n,res,t;
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int a;
            cin>>a;
            if(a%2==0) num2++;
            else num1++;
        }
        if(num1%4==0||num1%4==3||(num1%4==1&&num2%2==1)) cout<<"Alice"<<endl;
        else cout<<"Bob"<<endl;
    }
    return 0;
}
复制代码

 


__EOF__

本文作者：Sakurajimamai
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