一、补码
补码是对负整数在计算机中存储的一种形式；
第二种形式的负数在计算机中可以使用 （负号加数字）的形式表示一个负数；例如（-3 以1000 0011 存储）但是使用这种方法表示的只有（+0，-0），而且不可以做算术运算。
二、计算机数和真值
讨论二进制编码之前，首先来了解一下什么是计算机数和真值
（一）计算机数
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。
机器数数带符号的，由于计算机内部的硬件只能表示两种物理状态，在计算机使用一个数的最高位存放符号，正数为 0，负数为 1。
例如：十进制中的 +5 和 -5，计算机字长为8位，分别转换为 00000101 和 10000101；这里面的 00000101 和 10000101 就是机器数
机器数的特点：
一个数值的二进制表现形式，就叫做这个数的机器数。二进制的位数是受机器设备的限制的。机器内部设备一次能表示的二进制位数叫做机器的字长，一台机器的字长数固定的。
字长8位的叫做一个字节（Byte），机器字长一般都是字节的整数倍，如字长 8位、16位、32位、64位。
机器数的分类：
根据小数点位置固定与否，机器数又可以分为定点数和浮点数。通常使用 定点数表示 整数，使用 浮点数表示 实数：
1、整数：整数没有小数部分，小数点固定在数的最右边。整数可以分为(1) 无符号整数 和 (2) 有符号整数 两类。
无符号整数的所有二进制位全部用来表示数值的大小；
有符号整数用最高位表示数的正负号，其他位数表示数值的大小。
2、实数：实数的浮点数表示方法：将一个实数的范围和精度分别用阶码和位数表示。在计算机中，为了提高数据表示精度，必须表示小数点的位置，因此浮点数必须写成规范的形式（位数不为 0 的时候，其绝对值大于或等于 0.5 并且小于 1（因为是二进制位，要求尾数第 1 位必须是 1））。
例如：设机器字长位 16位，尾数为 8位，阶码 为 6位，则二进制实数 -1101.010 的机内表示为 0000100111010100。
注释：
阶码在机器中表示一个浮点数时需要给出指数，这个指数需要用整数形式表示，这个整数叫做阶码。阶码用以指示小数点在数据中的位置。
（二）真值
不带符号的数是数的绝对值，在绝对值前面加上表示正负的符号就成了符号数。
在计算机数中，第一位是符号位，所以计算机数的形式值就不能等于真正的数值。
-5 的计算机数为 10000101 ，最高位的1代表的是负号，真正的数值应该是 -5 而不应该是由形式值转换而来的 133。
所以为了区别两个数值，将带有符号位的计算机数对应的真正数值称为 机器数的真值。
例如：0000 0001的真值为 +000 0001 即为+1，1000 0001的真值为-000 0001，即为-1；
三、原码、反码、补码详解
计算机需要使用一定的编码方式进行存储。原码、反码、补码则是计算机存储一个具体数字的编码方式。
（一）原码
原码的表示方法：
原码的数值部分就是该数的绝对值，然后再加上符号位。即用第一位表示符号，其余位数表示值。
+1 [原码] = 0000 0001
-1 [原码] = 1000 0001
如果是 8位二进制得取值范围为：[1111 1111 , 0111 1111]，即为 [-127,127]
原码的加减法运算：
两数相加：机器首先判断两个数是否符号相同，如果相同则两数相加。若符号不同，则两数相减。
两数相减：相减运算之前，先判断两数绝对值的大小，用大数减去小数，然后再确定差值的符号。
这样的计算显然是很麻烦的，为了减少设备解决机器内符号位参与运算的问题，总是将减法运算变成加法运算，从而也就引进了反码和补码两种两种机器数。
（二）反码
反码的表现方式：
正数，其反码和原码的形式相同；
负数，反码与其原码的数值部分各位变反；即符号位不变，其余各位取反。
+1 = 0000 0001 [原码] = 0000 0001 [反码]
-1 = 1000 0001 [原码] = 1111 1110 [反码]
如果一个反码表示的是负数，直观上是无法看出它的数值，需要先将其转换成原码再进行计算。
（三）补码
补码的表示方法：
正数：补码和原码形式相同
负数：补码为其反码的末位加1
+1 = 0000 0001 [原码] = 0000 0001 [反码] = 0000 0001 [补码]
-1 = 1000 0001 [原码] = 1111 1110 [反码] = 1111 1111 [补码]
补码的数值通常需要将其转换为原码才方便计算其原数值。
补码是根据 同余 的概念引入的。
通过加法来实现减法的例子：假定当前时间为北京时间 6点整，有一只手表是 8点整，比北京时间快了 2个小时。这时候就有两种校准方法：（1）倒拨 2小时；（2）正拨 10小时。假设倒拨是做减法，正拨是做加法。
对于手表来说 -2 和 +10是等价的（也就是说减2可以用加10来实现），这是因为这是因为8加10等于18，然而手表最大只能指示12，当大于12时12自然丢失，18减去12就只剩6了
注意：
1、正数的原码、反码、补码的形式是相同的；
2、负数的原码、反码、补码其形式各不相同；
3、对于负数的反码和补码（即符号位为1的数），其符号位后面的几位数表示的并不是此数的数值。如果想要知道数值的大小，一定要求其反码或是补码才行。
四、原码、反码、补码的使用
计算机中有三种编码方式表示一个数，对于正数三种编码方式返回的结果都是相同的。
+1 = 0000 0001 [原码] = 0000 0001 [反码] = 0000 0001 [补码]
对于这个负数：
-1 = 1000 0001 [原码] = 1111 1110 [反码] = 1111 1111 [补码]
只有原码才是可以直接被识别并且用于计算方式 ，那么反码和补码的作用又是什么？
人脑在进行计算的时候可以知道第一位是符号位，在计算的时候会根据符号位选择对真值的加减。
对于计算机来说，加减乘除是最基础的运算，要尽量设计的简单，计算机辨别出 符号位 会使得计算机的基础电路设计变得更加复杂，所以人们想出了将符号位也参与运算的方法。
减去一个正数等于加上一个负数，即 2-1 = 2+(-1)，所以机器只有加法而没有减法。符号位参与运算，只保留加法运算。
（一）原码运算：
十进制的运算：1-1=0
1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原码] + 1000 0001 [原码] = 1000 0010 [原码] = -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，对于减法来说，结果显然是不正确的，所以计算机内部不使用原码来表示一个数字。
（二）反码运算：
为了解决原码做减法的问题，就引出了反码
十进制的运算：1-1=0
1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原码] + 1000 0001 [原码] = 0000 0001 [反码] + 1111 1110 [反码] = 1111 1111 [反码] = 1000 0010 [原码] = -0
使用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，但是在 ‘0’这个特殊的数值上。虽然 +0和 -0在意义上是一样的，但是0加上符号是没有任何意义的，0000 0001[原码] 和1000 0001[原码] 这两个编码都表示0。
（三）补码运算：
补码的出现，解决了 0 的符号以及两个编码的问题。
十进制的运算：1-1 =0
1-1=1+(-1) = 0000 0001 [原码] + 1000 0001 [原码] = 0000 0001 [补码] + 1111 1111[补码] = 0000 0000[补码] = 0000 0000[原码] = 0
这样 0 用 [0000 0000] 表示 ，而以前出现问题的 -0 就不存在了，而且可以用 [1000 0000] 表示 -128
(-1) + (-127) = 1000 0001[原码] + 1111 1111[原码] = 1111 1111[补码] + 1000 0001[补码] = 1000 000[补码] = -128
-1-127 的结果应该是 -128，在用补码运算的结果中，1000 0000[补码] 就是-128，但是注意因为实际上使用 -0 的补码来表示 -128，所以 -128并没有原码和反码表示。（-128的补码表1000 0000[补码] 算出来的 0000 0000[原码] 这样是不正确的）
使用补码，不仅是修复了 0的符号以及存在两个编码问题，而且还能多表示一个最低数。
注意：
1、所以8 位的二进制，使用原码或是反码表示的范围为 [-127,+127]，使用补码表示的范围为 [-128,127]；
2、常用的32 位二进制，使用补码表示的范围为 [-231, 231-1] ，这是因为第一位表示的是符号位，使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
五、原码、反码、补码算术运算
（一）反码的算术运算
反码的运算注意问题：
1、反码运算时，符号位与数值一起参与运算；
2、反码的符号位相加后，如果有进位产生，就要·把进位送回到最低位相加（循环进位）；
3、用反码运算，其运算结果也为反码。在转换为真值时，若符号位为0，数位不变；若符号位为1，应将结果求反才是其真值。
[例1] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用反码计算Z = X-Y。
解： [X]反 = 01101，[-Y]反 = 11001，则[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 01101+11001+1（循环进位）= 00111 , 其真值为Z = +0111。
[例2] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用反码计算Z = X-Y。
解： [X]反 = 00110，[-Y]反 = 10010，则[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 00110 + 10010= 11000 , 其真值为Z = - 0111。
采取反码运算较好的解决了原码运算所遇到的困难或问题，但由于循环进位需要二次算术相加，延长了计算时间，这同样给电路带来麻烦。
而采用下述的补码运算则可避免循环进位的两次计算，同时，采用补码运算对溢出的判断也较采用反码简单的多，所以机器中的算术运算普遍采用补码运算
（二）补码的算术运算
补码要注意的问题：
1、补码运算时，其符号位与数值部分一起参加运算
2、补码的符号相加后，如果有进位的出现，需要将这个进位舍去（自然丢失）
3、用补码运算，其运算结果也是补码。在转换为真值时，若符号位为 0，数位不变；若符号位为1，应将结果求补才是其真值。
[例3] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用补码计算Z = X-Y。
解： [X]补 = 01101，[-Y]补 = 11010，则[Z]补 =[X]补+[-Y]补 = 01101+11010= 100111 , 其真值为Z = + 0111。
[例4] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用补码计算Z = X-Y。
解： [X]补 = 00110，[-Y]补 = 10011，则[Z]补 =[X]补+[-Y]补 = 00110 + 10011= 11001 , 其真值为Z = - 0111。
（三）溢出及补码溢出的判断
无论采取什么机器，只要运算的结果大于数值设备所能表示数的范围，就会产生溢出。溢出现象应该当成是一种故障来处理，因为它使结果数产生错误。
异号两数相加时，实际是两数的绝对值相减，不可能产生溢出，但有可能出现正常进位；
同号两数相加时，实际上是两数的绝对值相加，既可能产生溢出，也可能出现正常进位。
[例5] 某数字设备用五位二进制表示数，计算
（1）9+3 （2）-9-3 （3）9+12 （4）-9-12
解：（1）[+9]补+[+3]补= 01001+ 00011 = 01100 = +12 正确；
（2）[-9]补+[-3]补= 10111+ 11101 = 110100 = 10100（符号位进位自然丢失），其真值为-1100 = -12正确；
（3）[+9]补+[12]补= 01001 + 01100 = 10101 其真值为-1011 =-11错误，产生了溢出；
（4）[-9]补+[-12]补 = 10111+10100 = 101011 其真值为01011= +11 错误，产生了溢出。
（1）、（2）两题结果均正确，查其最高位和次高位的进位位，不是均无进位产生，就是均产生进位；（3）、（4）两题结果均错误，查其最高位和次高位的进位位，只有一位产生了进位。此即为判断机器是正常进位还是溢出的基本依据，在微型机中可用异或电路来实现上述的判断。
参考博客：
https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E6%95%B0/1096838?fr=aladdin
https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html
