匈牙利算法（求二分图最大匹配的算法）

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是二部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

设 G=(V,E) 是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集 V1 , V2 ，选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)。
如果一个匹配中|V1<=V2|， 且匹配数| M |=| V1 | ，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。特别的当 | V1 |=| V2 | 称为完美匹配。

在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配:

若V={X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Y4} , E={( X1,Y2),(X1,Y4),(X2,Y1),(X2,Y3),(X3,Y2)}其中边 (X1,Y2),(X2,Y1) 已经在匹配M上。

M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如：路径 （X3,Y2,X1,Y4） ，（Y1,X2,Y3） 。

M-饱和点：对于 ，如果v与M中的某条边关联，则称v是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如 X1,X2,Y1,Y2 都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。

M-可增广路：p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如（X3,Y2,X1,Y4） （不要和流网络中的增广路径弄混了）。

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。

增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

（1）P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

（2）将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配 。

（3）M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

算法轮廓：

（1）置M为空

（2）找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配 代替M

（3）重复（2）操作直到找不出增广路径为止

复杂度编辑
时间复杂度邻接矩阵：最坏为O（n*3） 邻接表： O（nm）.
空间复杂度 邻接矩阵：O（n*2） 邻接表： O（n+m）

样例程序编辑

格式说明

输入格式：

第1行3个整数，V1,V2 的节点数目 n1,n2 ,G的边数m

第2-m+1行，每行两个整数 t1,t2 ，代表 V1 中编号为 t1 的点和 V2 中编号为 t2 的点之间有边相连
输出格式：

1个整数ans，代表最大匹配数

邻接矩阵-C

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int n1, n2, m, ans;
int result[101];//记录V2中的点匹配的点的编号
bool state[101];//记录V2中的每个点是否被搜索过
bool data[101][101];//邻接矩阵true代表有边相连
void init()
{
    int t1, t2;
    memset(data, 0, sizeof(data));
    memset(result, 0, sizeof(result));
    ans = 0;
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &t1, &t2);
        data[t1][t2] = true;
    }

    return;
}
bool find(int a)
{
    for(int i = 1; i <= n2; i++)
    {
        if(data[a][i] == 1 && !state[i]) //如果节点i与a相邻并且未被查找过
        {
            state[i] = true; //标记i为已查找过

            if(result[i] == 0 //如果i未在前一个匹配M中
                || find(result[i])) //i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路
            {
                result[i] = a; //记录查找成功记录

                return true;//返回查找成功
            }
        }
    }

    return false;
}
int main()
{
    init();

    for(int i = 1; i <= n1; i++)
    {
        memset(state, 0, sizeof(state)); //清空上次搜索时的标记
        if(find(i))
        {
            ans++;    //从节点i尝试扩展
        }
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}