R语言解读多元线性回归模型
转载：http://blog.fens.me/r-multi-linear-regression/
前言
本文接上一篇R语言解读一元线性回归模型。在许多生活和工作的实际问题中，影响因变量的因素可能不止一个，比如对于知识水平越高的人，收入水平也越高，这样的一个结论。这其中可能包括了因为更好的家庭条件，所以有了更好的教育；因为在一线城市发展，所以有了更好的工作机会；所处的行业赶上了大的经济上行周期等。要想解读这些规律，是复杂的、多维度的，多元回归分析方法更适合解读生活的规律。
由于本文为非统计的专业文章，所以当出现与教课书不符的描述，请以教课书为准。本文力求用简化的语言，来介绍多元线性回归的知识，同时配合R语言的实现。
目录
- 多元线性回归介绍
- 元线性回归建模
- 模型优化
- 案例：黑色系期货日K线数据验证
1. 多元线性回归介绍
对比一元线性回归，多元线性回归是用来确定2个或2个以上变量间关系的统计分析方法。多元线性回归的基本的分析方法与一元线性回归方法是类似的，我们首先需要对选取多元数据集并定义数学模型，然后进行参数估计，对估计出来的参数进行显著性检验，残差分析，异常点检测，最后确定回归方程进行模型预测。
由于多元回归方程有多个自变量，区别于一元回归方程，有一项很重要的操作就是自变量的优化，挑选出相关性最显著的自变量，同时去除不显著的自变量。在R语言中，有很方便地用于优化函数，可以很好的帮助我们来改进回归模型。
下面就开始多元线性回归的建模过程。
2. 多元线性回归建模
做过商品期货研究的人，都知道黑色系品种是具有产业链上下游的关系。铁矿石是炼钢的原材料，焦煤和焦炭是炼钢的能源资源，热卷即热轧卷板是以板坯为原料经加热后制成的钢板，螺纹钢是表面带肋的钢筋。
由于有产业链的关系，假设我们想要预测螺纹钢的价格，那么影响螺纹钢价格的因素可以会涉及到原材料，能源资源和同类材料等。比如，铁矿石价格如果上涨，螺纹钢就应该要涨价了。
2.1 数据集和数学模型
先从数据开始介绍，这次的数据集，我选择的期货黑色系的品种的商品期货，包括了大连期货交易所的 焦煤(JM)，焦炭(J)，铁矿石(I)，上海期货交易所的 螺纹钢(RU) 和 热卷(HC)。
数据集为2016年3月15日，当日白天开盘的交易数据，为黑色系的5个期货合约的分钟线的价格数据。
# 数据集已存在df变量中
> head(df,20)
x1 x2 x3 x4 y
2016-03-15 09:01:00 754.5 616.5 426.5 2215 2055
2016-03-15 09:02:00 752.5 614.5 423.5 2206 2048
2016-03-15 09:03:00 753.0 614.0 423.0 2199 2044
2016-03-15 09:04:00 752.5 613.0 422.5 2197 2040
2016-03-15 09:05:00 753.0 615.5 424.0 2198 2043
2016-03-15 09:06:00 752.5 614.5 422.0 2195 2040
2016-03-15 09:07:00 752.0 614.0 421.5 2193 2036
2016-03-15 09:08:00 753.0 615.0 422.5 2197 2043
2016-03-15 09:09:00 754.0 615.5 422.5 2197 2041
2016-03-15 09:10:00 754.5 615.5 423.0 2200 2044
2016-03-15 09:11:00 757.0 616.5 423.0 2201 2045
2016-03-15 09:12:00 756.0 615.5 423.0 2200 2044
2016-03-15 09:13:00 755.5 615.0 423.0 2197 2042
2016-03-15 09:14:00 755.5 615.0 423.0 2196 2042
2016-03-15 09:15:00 756.0 616.0 423.5 2200 2045
2016-03-15 09:16:00 757.5 616.0 424.0 2205 2052
2016-03-15 09:17:00 758.5 618.0 424.0 2204 2051
2016-03-15 09:18:00 759.5 618.5 424.0 2205 2053
2016-03-15 09:19:00 759.5 617.5 424.5 2206 2053
2016-03-15 09:20:00 758.5 617.5 423.5 2201 2050
数据集包括有6列:
- 索引, 为时间
- x1, 为焦炭(j1605)合约的1分钟线的报价数据
- x2, 为焦煤(jm1605)合约的1分钟线的报价数据
- x3, 为铁矿石(i1605)合约的1分钟线的报价数据
- x4, 为热卷(hc1605)合约的1分钟线的报价数据
- y, 为螺纹钢(rb1605)合约的1分钟线的报价数据
假设螺纹钢的价格与其他4个商品的价格有线性关系，那么我们建立以螺纹钢为因变量，以焦煤、焦炭、铁矿石和热卷的为自变量的多元线性回归模型。用公式表示为：
y = a + b * x1 + c * x2 + d * x3 + e * x4 + ε- y，为因变量，螺纹钢
- x1，为自变量，焦煤
- x2，为自变量，焦炭
- x3，为自变量，铁矿石
- x4，为自变量，热卷
- a，为截距
- b,c,d,e，为自变量系数
- ε, 为残差，是其他一切不确定因素影响的总和，其值不可观测。假定ε服从正态分布N(0,σ^2)。
通过对多元线性回归模型的数学定义，接下来让我们利用数据集做多元回归模型的参数估计。
2.2. 回归参数估计
上面公式中，回归参数 a, b, c, d,e都是我们不知道的，参数估计就是通过数据来估计出这些参数，从而确定自变量和因变量之前的关系。我们的目标是要计算出一条直线，使直线上每个点的Y值和实际数据的Y值之差的平方和最小，即（Y1实际-Y1预测）^2+（Y2实际-Y2预测）^2+ …… +（Yn实际-Yn预测）^2 的值最小。参数估计时，我们只考虑Y随X自变量的线性变化的部分，而残差ε是不可观测的，参数估计法并不需要考虑残差。
类似于一元线性回归，我们用R语言来实现对数据的回归模型的参数估计，用lm()函数来实现多元线性回归的建模过程。
# 建立多元线性回归模型
> lm1<-lm(y~x1+x2+x3+x4,data=df)
# 打印参数估计的结果
> lm1
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = df)
Coefficients:
(Intercept) x1 x2 x3 x4
212.8780 0.8542 0.6672 -0.6674 0.4821
这样我们就得到了y和x关系的方程。
y = 212.8780 + 0.8542 * x1 + 0.6672 * x2 - 0.6674 * x3 + 0.4821 * x42.3. 回归方程的显著性检验
参考一元线性回归的显著性检验，多元线性回归的显著性检验，同样是需要经过 T检验，F检验，和R^2(R平方)相关系统检验。在R语言中这三种检验的方法都已被实现，我们只需要把结果解读，我们可以summary()函数来提取模型的计算结果。
> summary(lm1)
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = df)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4.9648 -1.3241 -0.0319 1.2403 5.4194
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 212.87796 58.26788 3.653 0.000323 ***
x1 0.85423 0.10958 7.795 2.50e-13 ***
x2 0.66724 0.12938 5.157 5.57e-07 ***
x3 -0.66741 0.15421 -4.328 2.28e-05 ***
x4 0.48214 0.01959 24.609 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 2.028 on 221 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9725, Adjusted R-squared: 0.972
F-statistic: 1956 on 4 and 221 DF, p-value: < 2.2e-16
- T检验：所自变量都是非常显著***
- F检验：同样是非常显著，p-value < 2.2e-16
- 调整后的R^2：相关性非常强为0.972
最后，我们通过的回归参数的检验与回归方程的检验，得到最后多元线性回归方程为：
y = 212.87796 + 0.85423 * x1 + 0.66724 * x2 - 0.66741 * x3 + 0.48214 * x4
即
螺纹钢 = 212.87796 + 0.85423 * 焦炭 + 0.66724 * 焦煤 - 0.66741 * 铁矿石 + 0.48214 * 热卷
2.4 残差分析和异常点检测
在得到的回归模型进行显著性检验后，还要在做残差分析(预测值和实际值之间的差)，检验模型的正确性，残差必须服从正态分布N(0,σ^2)。直接用plot()函数生成4种用于模型诊断的图形，进行直观地分析。
> par(mfrow=c(2,2))
> plot(lm1)
- 残差和拟合值(左上)，残差和拟合值之间数据点均匀分布在y=0两侧，呈现出随机的分布，红色线呈现出一条平稳的曲线并没有明显的形状特征。
- 残差QQ图(右上)，数据点按对角直线排列，趋于一条直线，并被对角直接穿过，直观上符合正态分布。
- 标准化残差平方根和拟合值(左下)，数据点均匀分布在y=0两侧，呈现出随机的分布，红色线呈现出一条平稳的曲线并没有明显的形状特征。
- 标准化残差和杠杆值(右下)，没有出现红色的等高线，则说明数据中没有特别影响回归结果的异常点。
结论，没有明显的异常点，残差符合假设条件。
2.5. 模型预测
我们得到了多元线性回归方程的公式，就可以对数据进行预测了。我们可以用R语言的predict()函数来计算预测值y0和相应的预测区间，并把实际值和预测值一起可视化化展示。
> par(mfrow=c(1,1)) #设置画面布局
# 预测计算
> dfp<-predict(lm1,interval="prediction")
# 打印预测时
> head(dfp,10)
fit lwr upr
2014-03-21 3160.526 3046.425 3274.626
2014-03-24 3193.253 3078.868 3307.637
2014-03-25 3240.389 3126.171 3354.607
2014-03-26 3228.565 3114.420 3342.710
2014-03-27 3222.528 3108.342 3336.713
2014-03-28 3262.399 3148.132 3376.666
2014-03-31 3291.996 3177.648 3406.344
2014-04-01 3305.870 3191.447 3420.294
2014-04-02 3275.370 3161.018 3389.723
2014-04-03 3297.358 3182.960 3411.755
# 合并数据
> mdf<-merge(df$y,dfp)
# 画图
> draw(mdf)
图例说明
- y, 实际价格，红色线
- fit, 预测价格，绿色线
- lwr，预测最低价，蓝色线
- upr，预测最高价，紫色线
从图中看出，实际价格y和预测价格fit，在大多数的时候都是很贴近的。我们的一个模型就训练好了！
3. 模型优化
上文中，我们已经很顺利的发现了一个非常不错的模型。如果要进行模型优化，可以用R语言中update()函数进行模型的调整。我们首先检查一下每个自变量x1,x2,x3,x4和因变量y之间的关系。
pairs(as.data.frame(df))
从图中，我们可以发现x2与Y的关系，可能是最偏离线性的。那么，我们尝试对多元线性回归模型进行调整，从原模型中去掉x2变量。
# 模型调整
> lm2<-update(lm1, .~. -x2)
> summary(lm2)
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x3 + x4, data = df)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-6.0039 -1.3842 0.0177 1.3513 4.8028
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 462.47104 34.26636 13.50 < 2e-16 ***
x1 1.08728 0.10543 10.31 < 2e-16 ***
x3 -0.40788 0.15394 -2.65 0.00864 **
x4 0.42582 0.01718 24.79 < 2e-16 ***
---
Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 2.142 on 222 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9692, Adjusted R-squared: 0.9688
F-statistic: 2330 on 3 and 222 DF, p-value: < 2.2e-16
当把自变量x2去掉后，自变量x3的T检验反而变大了，同时Adjusted R-squared变小了，所以我们这次调整是有问题的。
如果通过生产和原材料的内在逻辑分析，焦煤与焦炭属于上下游关系。焦煤是生产焦炭的一种原材料，焦炭是焦煤与其他炼焦煤经过配煤焦化形成的产品，一般生产 1 吨焦炭需要1.33 吨炼焦煤，其中焦煤至少占 30% 。
我们把焦煤 和 焦炭的关系改变一下，增加x1*x2的关系匹配到模型，看看效果。
# 模型调整
> lm3<-update(lm1, .~. + x1*x2)
> summary(lm3)
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x1:x2, data = df)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4.8110 -1.3501 -0.0595 1.2019 5.3884
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 7160.32231 7814.50048 0.916 0.361
x1 -8.45530 10.47167 -0.807 0.420
x2 -10.58406 12.65579 -0.836 0.404
x3 -0.64344 0.15662 -4.108 5.63e-05 ***
x4 0.48363 0.01967 24.584 < 2e-16 ***
x1:x2 0.01505 0.01693 0.889 0.375
---
Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 2.029 on 220 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9726, Adjusted R-squared: 0.972
F-statistic: 1563 on 5 and 220 DF, p-value: < 2.2e-16
从结果中发现，增加了x1*x2列后，原来的x1,x2和Intercept的T检验都不显著。继续调整模型，从模型中去掉x1,x2两个自变量。
# 模型调整
> lm4<-update(lm3, .~. -x1-x2)
> summary(lm4)
Call:
lm(formula = y ~ x3 + x4 + x1:x2, data = df)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4.9027 -1.2516 -0.0167 1.2748 5.8683
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 6.950e+02 1.609e+01 43.183 < 2e-16 ***
x3 -6.284e-01 1.530e-01 -4.108 5.61e-05 ***
x4 4.959e-01 1.785e-02 27.783 < 2e-16 ***
x1:x2 1.133e-03 9.524e-05 11.897 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 2.035 on 222 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9722, Adjusted R-squared: 0.9718
F-statistic: 2588 on 3 and 222 DF, p-value: < 2.2e-16
从调整后的结果来看，效果还不错。不过，也并没有比最初的模型有所提高。
对于模型调整的过程，如果我们手动调整测试时，一般都会基于业务知识来操作。如果是按照数据指标来计算，我们可以用R语言中提供的逐步回归的优化方法，通过AIC指标来判断是否需要参数优化。
#对lm1模型做逐步回归
> step(lm1)
Start: AIC=324.51
y ~ x1 + x2 + x3 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
908.8 324.51
- x3 1 77.03 985.9 340.90
- x2 1 109.37 1018.2 348.19
- x1 1 249.90 1158.8 377.41
- x4 1 2490.56 3399.4 620.65
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = df)
Coefficients:
(Intercept) x1 x2 x3 x4
212.8780 0.8542 0.6672 -0.6674 0.4821
通过计算AIC指标，lm1的模型AIC最小时为324.51，每次去掉一个自变量都会让AIC的值变大，所以我们还是不调整比较好。
对刚才的lm3模型做逐步回归的模型调整。
#对lm3模型做逐步回归
> step(lm3)
Start: AIC=325.7 #当前AIC
y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x1:x2
Df Sum of Sq RSS AIC
- x1:x2 1 3.25 908.8 324.51
905.6 325.70
- x3 1 69.47 975.1 340.41
- x4 1 2487.86 3393.5 622.25
Step: AIC=324.51 #去掉x1*x2项的AIC
y ~ x1 + x2 + x3 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
908.8 324.51
- x3 1 77.03 985.9 340.90
- x2 1 109.37 1018.2 348.19
- x1 1 249.90 1158.8 377.41
- x4 1 2490.56 3399.4 620.65
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = df)
Coefficients:
(Intercept) x1 x2 x3 x4
212.8780 0.8542 0.6672 -0.6674 0.4821
通过AIC的判断，去掉X1*X2项后AIC最小，最后的检验结果告诉我们，还是原初的模型是最好的。
4. 案例：黑色系期货日K线数据验证
最后，我们用上面5个期货合约的日K线数据测试一下，找到多元回归关系。
> lm9<-lm(y~x1+x2+x3+x4,data=df) # 日K线数据
> summary(lm9)
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = df)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-173.338 -37.470 3.465 32.158 178.982
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 386.33482 31.07729 12.431 < 2e-16 ***
x1 0.75871 0.07554 10.045 < 2e-16 ***
x2 -0.62907 0.14715 -4.275 2.24e-05 ***
x3 1.16070 0.05224 22.219 < 2e-16 ***
x4 0.46461 0.02168 21.427 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 57.78 on 565 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9844, Adjusted R-squared: 0.9843
F-statistic: 8906 on 4 and 565 DF, p-value: < 2.2e-16
数据集的基本统计信息。
> summary(df)
Index x1 x2
Min. :2014-03-21 00:00:00 Min. : 606.5 Min. :494.0
1st Qu.:2014-10-21 06:00:00 1st Qu.: 803.5 1st Qu.:613.1
Median :2015-05-20 12:00:00 Median : 939.0 Median :705.8
Mean :2015-05-21 08:02:31 Mean : 936.1 Mean :695.3
3rd Qu.:2015-12-16 18:00:00 3rd Qu.:1075.0 3rd Qu.:773.0
Max. :2016-07-25 00:00:00 Max. :1280.0 Max. :898.0
x3 x4 y
Min. :284.0 Min. :1691 Min. :1626
1st Qu.:374.1 1st Qu.:2084 1st Qu.:2012
Median :434.0 Median :2503 Median :2378
Mean :476.5 Mean :2545 Mean :2395
3rd Qu.:545.8 3rd Qu.:2916 3rd Qu.:2592
Max. :825.0 Max. :3480 Max. :3414
对于日K线数据，黑色系的5个品种，同样具有非常强的相关关系，那么我们就可以把这个结论应用到实际的交易中了。
