【DFS】——poj1190——涂蛋糕

                                                  生日蛋糕

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Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 
令Q = Sπ 
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 
（除Q外，以上所有数据皆为正整数） 

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

思路：
由于深度一定(lev),所以使用深度优先搜索,自上而下的设定蛋糕序号,最顶层的为第1层,……,最底层的蛋糕为第m层,
很明显满足题目条件的前i层的(从顶层(也就是编号为1的层)开始计数)最小面积mins[i]和体积minv[i]是在该层的半径以及高度都为i时取得,
如果采用一般的深搜肯定会超时,所以这题还需要剪枝,剪枝条件有：(从m层向上搜,假设前dep层的体积为sumv,面积为sums,当前所得的最小面积为ans):

可行性——
     1> 因为前dep层的体积为sumv,如果剩下的几层的体积都取最小可能值,总体积还是比n大,那么则说明前dep层的方案不可行,所以可以剪枝(剪枝条件为:sumv+minv[dep-1]>n)
     2> 因为前dep层的面积为sums,如果剩下的几层的面积都取最小可能值,所得的面积和比已经得到的所求的最小面积best大,也可以进行剪枝(剪枝条件为:sums+mins[dep-1]>best)
最优性——（基于不等式放缩）

     3> 因为前dep层的体积为sumv,那么剩余的m-dep层的体积满足:n-sumv=(h[k]*(r[k]^2)+……+h[m]*(r[m]^2))      (k=dep+1,……,m)
            而剩余部分的表面积满足:lefts=2*(r[k]*h[k]+……+r[m]*h[m])>2*(n-sumv)/r[dep]                    (k=dep+1,……,m)
            显然有上述不等式lefts=best-sums>2*(n-sumv)/r,
            即2*(n-sumv)/r+sums<best,
            所以当2*(n-sumv)/r[i]+sums>=best时也可以进行剪枝

代码如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

#define inf 0x7fffffff

int sv,lev;
int minv[30];
int mins[30];
int ans;

//初始化，记录每层下面的最小需要体积、面积
void init()
{
    minv[0]=mins[0];
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;
        mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;
    }
}

void dfs(int dep,int sumv,int sums,int r,int h)
{
     int i,j,maxh;

     if(dep==0)//搜索完成,则更新最小面积值
     {
         if(sumv==sv&&sums<ans)
            ans=sums;
         return;
     }

     if((sumv+minv[dep-1]>sv)||(sums+mins[dep-1]>ans)||(2*(sv-sumv)/r+sums>=ans))
         return;

     //按递减顺序枚举dep层蛋糕半径的每一个可能值,这里第dep层的半径最小值为dep
     for(i=r-1;i>=dep;i--)
     {
         if(dep==lev)//底面积作为外表面积的初始值(总的上表面积,以后只需计算侧面积)
            sums=i*i;

         //最大高度,即dep层蛋糕高度的上限,(n-sumv-minv[dep-1])表示第dep层最大的体积
         maxh=min((sv-sumv-minv[dep-1])/(i*i) , h-1);

         for(j=maxh;j>=dep;j--)//同理,第dep层的最小高度值为dep
            dfs(dep-1 , sumv+j*i*i , sums+2*i*j , i , j);//递归搜索子状态
     }
}

int main()
{
    cin>>sv>>lev;
    ans=inf;

    init();

    //如果高为1，则半径为sqrt（sv）
    //如果半径为1，则高为sv
    dfs(lev,0,0,(int)sqrt(sv),sv);

    cout<<ans<<endl;

    return 0;
}