上科大2022年考研初试991NPC证明问题

七、NPC(1题，共20分) 我们先回顾一下NP-Complete问题SUBSET-SUM：给定一组非负整数\(S\)和一个目标值\(K\)，询问\(S\)是否存在一个子集\(S'\)，使得\(\sum_{i \in S' } i = K\)。现在我们定义另外一个问题AVERAGE-SUM，即给定一组非负整数\(S\)，询问\(S\)是否存在一个子集\(S'\)，使得\(\sum_{i \in S'}i = \frac{1}{|S|} \sum_{i \in S} i\)，\(|S|\)是\(S\)中元素的个数。它类似于SUBSET-SUM问题，不同之处在于现在的目标值总是\(S\)的平均值。请证明AVERAGE-SUM是NP-Complete问题。

提示：证明问题\(Y\)是NP-Complete问题，需要首先证明该问题是NP问题，然后再选择一个NP-Complete问题\(X\)，证明该问题\(X\)可以以多项式时间归约到问题\(Y\)\((X \leq_p Y)\)​

证明：

1. 证明AVERAGE-SUM是NP问题：
   NP问题就是可以在多项式时间内验证的判定问题。显然，AVERAGE-SUM是判定问题（输出只有1或0）。若给定\(S'\)，可以在多项式时间内\(\Theta(|S| + |S'|)\)验证\(\sum_{i \in S'}i = \frac{1}{|S|} \sum_{i \in S} i\)是否成立。所以问题AVERAGE-SUM是NP问题。

2. 证明AVERAGE-SUM是NPC(Np-Complete)问题：
   已知AVERAGE-SUM是NP问题，SUBSET-SUM是NPC问题，如果能证明SUBSET-SUM能在多项式时间内规约到AVERAGE-SUM问题，就能证明AVERAGE-SUM是NPC问题。

   先回顾一下规约的定义：

   语言\(L_1\)在多项式时间内可以规约到语言\(L_2\)，记作\(L_1 \leq_{p} L_2\)，如果存在一个多项式时间的可计算函数\(f: \{0, 1\} ^ * \rightarrow \{0, 1\}^*\)，满足对所有的\(x \in \{0,1\}^*\)，\(x \in L_1\)当且仅当\(f(x) = L_2\)。则称函数\(f\)为归约函数，计算\(f\)的多项式时间算法\(F\)称为规约算法。“算法导论中文版第三版 P627”

   （语言是判定问题（decision problem）的一种形式化表达。）

   在这个问题中，问题SUBSET-SUM的输入有一个集合\(S\)和一个整数\(K\)，可以表示成\(x = (S,K)\)，问题AVERAGE-SUM的输入只有一个集合\(S\)，可以表示成\(y = (S)\)。要证明SUBSET-SUM能在多项式时间内规约到AVERAGE-SUM问题，就是要证明存在多项式时间的可计算函数\(f\)，对于问题SUBSET-SUM的输入\(x = (S_1, K_1)\)，若\(f(x) = y = (S_2)\)，那么将\(x\)作为问题SUBSET-SUM输入，\(y\)作为问题AVERAGE-SUM输入时，两个问题结果一样，即同时为1或同时0。

   首先，注意到对输入为\((S_1,K_1)\)的问题SUBSET-SUM来说，在\(S_1\)中增加一个数\(n\)，若\(n = 0 或 n > K_1\)，则\(n\)一定不会出现在\(S'\)中，对结果没有任何影响。 \(\frac{1}{|S_1|} \sum_{i \in S_1} i\) 与\(K_1\)的大小关系有下面三种情况：

   • 若\(\frac{1}{|S_1|} \sum_{i \in S_1}i = K_1\)，只要让\(S_2=S_1\)，这两个问题实际上已经是同一个问题。

   • 若\(\frac{1}{|S_1|} \sum_{i \in S_1} i< K\)，则\(\frac{1}{|S_1| + 1} \sum_{i \in S_1} i< \frac{1}{|S_1|} \sum_{i \in S_1} i<K\)，令\(n = K_1(|S_1| + 1) - \sum_{i \in S_1}i > 0\)。等式右边展开可得\(n = K_1|S_1| - \sum_{i\in S}i + K_1 > K_1\)，令\(S_1'\)为\(S_1\)添加元素\(n\)后的集合，\((S_1',K_1)\)作为SUBSET-SUM的输入时，和\((S_1,K_1)\)作为SUBSET-SUM输入的结果一致。又因为\(|S_1'| = |S_1| + 1\)，此时有\(\frac{1}{|S_1'|} \sum_{i \in S_1'} i= K_1\)，转化成了上一种情况。

   • 若\(\frac{1}{|S_1|} \sum_{i \in S_1} > K\)，可以在\(S_1\)中不断增加\(0\)，可以让 \(\sum_{i \in S_1} i\)不变的同时\(|S_1|\)减小，直到\(\frac{1}{|S_1|} \sum_{i \in S_1} < K\)​，转化成了上一种情况。

   显然整个转化过程是多项式时间的。

ps: 证明某种语言\(L\)是NP完全语言的方法（“算法导论中文版第三版 P634” ）:

1. 证明\(L \in NP\)。
2. 选取一种已知的NP完全语言\(L'\)
3. 描述一种可计算函数\(f(x)\)的算法，其中\(f\)可将\(L'\)中的每一个实例\(x \in \{0,1\}^*\)映射为\(L\)中的实例\(f(x)\)。
4. 证明函数\(f\)满足\(x \in L'\)当且仅当对于所有的\(x \in \{0,1\}^*\)都有\(f(x) \in L\)。
5. 证明计算函数\(f\)的算法有多项式运行时间。