Tarjan算法：求解图的割点与桥（割边）

简介：

割边和割点的定义仅限于无向图中。我们可以通过定义以蛮力方式求解出无向图的所有割点和割边,但这样的求解方式效率低。Tarjan提出了一种快速求解的方式，通过一次DFS就求解出图中所有的割点和割边。

欢迎探讨，如有错误敬请指正

如需转载，请注明出处 http://www.cnblogs.com/nullzx/

---

1. 割点与桥（割边）的定义

在无向图中才有割边和割点的定义

割点：无向连通图中，去掉一个顶点及和它相邻的所有边，图中的连通分量数增加，则该顶点称为割点。

桥（割边）：无向联通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边，称为桥或者割边。

割点与桥（割边）的关系：

1）有割点不一定有桥,有桥一定存在割点

2）桥一定是割点依附的边。

下图中顶点C为割点，但和C相连的边都不是桥。

2. 暴力解决办法解决求解割点集和割边集

暴力法的原理就是通过定义求解割点和割边。在图中去掉某个顶点，然后进行DFS遍历，如果连通分量增加，那么该顶点就是割点。如果在图中去掉某条边，然后进行DFS遍历，如果连通分量增加，那么该边就是割边。对每个顶点或者每个边进行一次上述操作，就可以求出这个图的所有割点和割边，我们称之为这个图的割点集和割边集。

在具体的代码实现中，并不需要真正删除该顶点和删除依附于该顶点所有边。对于割点，我们只需要在DFS前，将该顶点对应是否已访问的标记置为ture，然后从其它顶点为根进行DFS即可。对于割边，我们只需要禁止从这条边进行DFS后，如果联通分量增加了，那么这条边就是割边。

3. Tarjan算法的原理

判断一个顶点是不是割点除了从定义，还可以从DFS（深度优先遍历）的角度出发。我们先通过DFS定义两个概念。

假设DFS中我们从顶点U访问到了顶点V（此时顶点V还未被访问过），那么我们称顶点U为顶点V的父顶点，V为U的孩子顶点。在顶点U之前被访问过的顶点，我们就称之为U的祖先顶点。

显然如果顶点U的所有孩子顶点可以不通过父顶点U而访问到U的祖先顶点，那么说明此时去掉顶点U不影响图的连通性，U就不是割点。相反，如果顶点U至少存在一个孩子顶点，必须通过父顶点U才能访问到U的祖先顶点，那么去掉顶点U后，顶点U的祖先顶点和孩子顶点就不连通了，说明U是一个割点。

 

上图中的箭头表示DFS访问的顺序（而不表示有向图），对于顶点D而言，D的孩子顶点可以通过连通区域1红色的边回到D的祖先顶点C（此时C已被访问过），所以此时D不是割点。

上图中的连通区域2中的顶点，必须通过D才能访问到D的祖先顶点，所以说此时D为割点。再次强调一遍，箭头仅仅表示DFS的访问顺序，而不是表示该图是有向图。

这里我们还需要考虑一个特殊情况，就是DFS的根顶点（一般情况下是编号为0的顶点），因为根顶点没有祖先顶点。其实根顶点是不是割点也很好判断，如果从根顶点出发，一次DFS就能访问到所有的顶点，那么根顶点就不是割点。反之，如果回溯到根顶点后，还有未访问过的顶点，需要在邻接顶点上再次进行DFS，根顶点就是割点。

4. Tarjan算法的实现细节

在具体实现Tarjan算法上，我们需要在DFS（深度优先遍历）中，额外定义三个数组dfn[]，low[]，parent[]

 

4.1 dfn数组

dnf数组的下标表示顶点的编号，数组中的值表示该顶点在DFS中的遍历顺序(或者说时间戳)，每访问到一个未访问过的顶点，访问顺序的值（时间戳）就增加1。子顶点的dfn值一定比父顶点的dfn值大（但不一定恰好大1，比如父顶点有两个及两个以上分支的情况）。在访问一个顶点后，它的dfn的值就确定下来了，不会再改变。

 

4.2 low数组

low数组的下标表示顶点的编号，数组中的值表示DFS中该顶点不通过父顶点能访问到的祖先顶点中最小的顺序值（或者说时间戳）。

每个顶点初始的low值和dfn值应该一样，在DFS中，我们根据情况不断更新low的值。

假设由顶点U访问到顶点V。当从顶点V回溯到顶点U时，

如果

dfn[v] < low[u]

那么

low[u] = dfn[v]

如果顶点U还有它分支，每个分支回溯时都进行上述操作，那么顶点low[u]就表示了不通过顶点U的父节点所能访问到的最早祖先节点。

 

4.3 parent数组

parent[]:下标表示顶点的编号，数组中的值表示该顶点的父顶点编号，它主要用于更新low值的时候排除父顶点，当然也可以其它的办法实现相同的功能。

 

4.4 一个具体的例子

现在我们来看一个例子，模仿程序计算各个顶点的dfn值和low值。下图中蓝色实线箭头表示已访问过的路径，无箭头虚线表示未访问路径。已访问过的顶点用黄色标记，未访问的顶点用白色标记，DFS当前正在处理的顶点用绿色表示。带箭头的蓝色虚线表示DFS回溯时的返回路径。

 

1）

当DFS走到顶点H时，有三个分支，我们假设我们先走H-I，然后走H-F，最后走H-J。从H访问I时，顶点I未被访问过，所以I的dfn和low都为9。根据DFS的遍历顺序，我们应该从顶点I继续访问。

 

2）

上图表示由顶点I访问顶点D，而此时发现D已被访问，当从D回溯到I时，由于

dfn[D] < dfn[I]

说明D是I的祖先顶点，所以到现在为止，顶点I不经过父顶点H能访问到的小时间戳为4。

 

3）

根据DFS的原理，我们从顶点I回到顶点H，显然到目前为止顶点H能访问到的最小时间戳也是4（因为我们到现在为止只知道能从H可以通过I访问到D），所以low[H] = 4

 

4）

现在我们继续执行DFS，走H-F路径，发现顶点F已被访问且dfn[F] < dfn[H]，说明F是H的祖先顶点，但此时顶点H能访问的最早时间戳是4，而F的时间戳是6，依据low值定义low[H]仍然为4。

 

5）

最后我们走H-J路径，顶点J未被访问过所以 dfn[J] = 10   low[J] = 10

 

6）

同理，由DFS访问顶点B，dfn[J] > dfn[B]，B为祖先顶点，顶点J不经过父顶点H能访问到的最早时间戳就是dfn[B]，即low[J] = 2

 

7）

我们从顶点J回溯到顶点H，显然到目前为止顶点H能访问到的最早时间戳就更新为2（因为我们到现在为止知道了能从H访问到J），所以low[H] = 2

 

8）

 

根据DFS原理，我们从H回退到顶点E（H回退到G,G回退到F，F回退到E的过程省略），所经过的顶点都会更新low值，因为这些顶点不用通过自己的父顶点就可以和顶点B相连。当回溯到顶点E时，还有未访问过的顶点，那么继续进行E-K分支的DFS。

 

9）

从E-K分支访问到顶点L时，顶点k和L的的dfn值和low值如图上图所示

 

10）

接着我们继续回溯到了顶点D（中间过程有所省略），并更新low[D]

 

11）

最后，按照DFS的原理，我们回退到顶点A，并且求出来了每个顶点的dfn值和low值。

 

4.5 割点及桥的判定方法

割点：判断顶点U是否为割点，用U顶点的dnf值和它的所有的孩子顶点的low值进行比较，如果存在至少一个孩子顶点V满足low[v] >= dnf[u]，就说明顶点V访问顶点U的祖先顶点，必须通过顶点U，而不存在顶点V到顶点U祖先顶点的其它路径，所以顶点U就是一个割点。对于没有孩子顶点的顶点，显然不会是割点。

桥（割边）：low[v] > dnf[u] 就说明V-U是桥

需要说明的是，Tarjan算法从图的任意顶点进行DFS都可以得出割点集和割边集。

从上图的结果中我们可以看出，顶点B,顶点E和顶点K为割点，A-B以及E-K和K-L为割边。

 

5. 代码实现

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247

package datastruct;   import java.io.BufferedReader; import java.io.File; import java.io.FileNotFoundException; import java.io.FileReader; import java.io.PrintWriter; import java.io.Reader; import java.io.StringWriter; import java.util.LinkedList; import java.util.List; import java.util.Scanner;   public class CutVerEdge {           /*用于标记已访问过的顶点*/     private boolean[] marked;           /*三个数组的作用不再解释*/     private int[] low;     private int[] dfn;     private int[] parent;           /*用于标记是否是割点*/     private boolean[] isCutVer;           /*存储割点集的容器*/     private List<Integer> listV;           /*存储割边的容器，容器中存储的是数组，每个数组只有两个元素，表示这个边依附的两个顶点*/     private List<int[]> listE;           private UndirectedGraph ug;     private int visitOrder;/*时间戳变量*/           /*定义图的边*/     public static class Edge{                   /*边起始顶点*/         private final int from;                   /*边终结顶点*/         private final int to;                   public Edge(int from, int to){             this.from = from;             this.to= to;         }                   public int from(){             return this.from;         }                   public int to(){             return this.to;         }                   public String toString(){             return "[" + from + ", " + to +"] ";         }     }            /*定义无向图*/     public static class UndirectedGraph{                   private int vtxNum;/*顶点数量*/         private int edgeNum;/*边数量*/                   /*临接表*/         private LinkedList<Edge>[] adj;                   /*无向图的构造函数,通过txt文件构造图，无权值*/         @SuppressWarnings("unchecked")         public UndirectedGraph(Reader r){                           BufferedReader br = new BufferedReader(r);             Scanner scn = new Scanner(br);                           /*图中顶点数*/             vtxNum = scn.nextInt();             /*图中边数*/             edgeNum = scn.nextInt();                           adj = (LinkedList<Edge>[])new LinkedList[vtxNum];                           for(int i = 0; i < vtxNum; i++){                 adj[i] = new LinkedList<Edge>();             }                           /*无向图,同一条边，添加两次*/             for(int i = 0; i < edgeNum; i++){                 int from = scn.nextInt();                 int to = scn.nextInt();                 Edge e1 = new Edge(from, to);                 Edge e2 = new Edge(to, from);                 adj[from].add(e1);                 adj[to].add(e2);             }             scn.close();         }                   /*图的显示方法*/         @Override         public String toString(){             StringWriter sw = new StringWriter();             PrintWriter pw = new PrintWriter(sw);             for (int i = 0; i < vtxNum; i++) {                 pw.printf(" %-3d:  ", i);                 for (Edge e : adj[i]) {                     pw.print(e);                 }                 pw.println();             }             return sw.getBuffer().toString();         }                   /*返回顶点个数*/         public int vtxNum(){             return vtxNum;         }                   /*返回边的数量*/         public int edgeNum(){             return edgeNum;         }               }           public CutVerEdge(UndirectedGraph ug){                   this.ug = ug;                   marked = new boolean[ug.vtxNum()];                   low = new int[ug.vtxNum()];         dfn = new int[ug.vtxNum()];         parent = new int[ug.vtxNum()];                   isCutVer = new boolean[ug.vtxNum()];                   listV = new LinkedList<Integer>();         listE = new LinkedList<int[]>();                   /*调用深度优先遍历，求解各个顶点的dfn值和low值*/         dfs();     }                 private void dfs(){                   int childTree  = 0;         marked[0] = true;         visitOrder = 1;         parent[0] = -1;                   for(Edge e : ug.adj[0]){             int w = e.to();             if(!marked[w]){                 marked[w] = true;                 parent[w] = 0;                 dfs0(w);                 /*根顶点相连的边是否是桥*/                 if(low[w] > dfn[0]){                     listE.add(new int[]{0, w});                 }                 childTree++;             }         }         /*单独处理根顶点*/         if(childTree >= 2){/*根顶点是割点的条件*/             isCutVer[0] = true;         }     }           /*除了根顶点的其它情况*/     private void dfs0(int v){         dfn[v] = low[v] = ++visitOrder;         for(Edge e : ug.adj[v]){             int w = e.to();             if(!marked[w]){                 marked[w] = true;                 parent[w] = v;                 dfs0(w);                 low[v] = Math.min(low[v], low[w]);                                   /*判断割点*/                 if(low[w] >= dfn[v]){                     isCutVer[v] = true;                     /*判断桥*/                     if(low[w] > dfn[v]){                         listE.add(new int[]{v, w});                     }                 }             }else             if(parent[v] != w && dfn[w] < dfn[v]){                 low[v] = Math.min(low[v], dfn[w]);             }         }     }           /*返回所有割点*/     public List<Integer> allCutVer(){         for(int i = 0; i < isCutVer.length; i++){             if(isCutVer[i]){                 listV.add(i);             }         }         return listV;     }           /*返回所有割边*/     public List<int[]> allCutEdge(){         return listE;     }           /*判断顶点v是否是割点*/     public boolean isCutVer(int v){         return isCutVer[v];     }           public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException{                   File path = new File(System.getProperties()                       .getProperty("user.dir"))               .getParentFile();           File f = new File(path, "algs4-data/tinyG2.txt");         FileReader fr = new FileReader(f);                   UndirectedGraph ug = new UndirectedGraph(fr);         System.out.println("\n-------图的邻接表示法-------");         System.out.println(ug);                   System.out.println("\n-------图中的割点-------");                   CutVerEdge cve = new CutVerEdge(ug);         for(int i : cve.allCutVer()){             System.out.println(i);         }                   System.out.println("\n-------图中的割边-----");                   for(int[] a : cve.allCutEdge()){             System.out.println(a[0]+"  "+ a[1]);         }     } }

 

运行结果

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

------图的邻接表示法------- 0  :  [0, 5] [0, 1] [0, 2] [0, 6] 1  :  [1, 0] 2  :  [2, 0] 3  :  [3, 4] [3, 5] 4  :  [4, 3] [4, 6] [4, 5] 5  :  [5, 0] [5, 4] [5, 3] 6  :  [6, 4] [6, 7] [6, 9] [6, 0] 7  :  [7, 8] [7, 6] 8  :  [8, 7] 9  :  [9, 12] [9, 10] [9, 11] [9, 6] 10 :  [10, 9] 11 :  [11, 12] [11, 9] 12 :  [12, 9] [12, 11]     -------图中的割点------- 0 6 7 9   -------图中的割边----- 7  8 6  7 9  10 6  9 0  1 0  2

6. 参考内容

[1]. http://www.cnblogs.com/en-heng/p/4002658.html

[2]. http://blog.csdn.net/wtyvhreal/article/details/43530613

[3]. http://www.cppblog.com/ZAKIR/archive/2010/08/30/124869.html?opt=admin